主题一 第一章 第3节 第2课时 基本不等式-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，北师大版）

第2课时　基本不等式 [基础训练组] 1．(2023·河北模拟)已知实数a，b满足条件3a＋3b＝()a＋b，则a2＋b2的最小值为(　　) A．8　　　 B．6　　 C．4　　　 D．2 解析：D　[因为3a＋3b＝()a＋b≥2，当且仅当3a＝3b，即a＝b时取等号， 所以6a＋b≥4·3a＋b，所以2a＋b≥4，a＋b≥2，a2＋b2≥(a＋b)2＝2，当且仅当a＝b＝1时等号成立，所以a2＋b2的最小值为2.] 2．(2023·黑龙江哈九中三模)已知x，y都是正数，且x≠y，则下列选项不恒成立的是(　　) A.＞ B.＋＞2 C.＜ D．xy＋＞2 解析：D　[x，y都是正数，由基本不等式，≥，＋≥2，≤＝，这三个不等式都是当且仅当x＝y时等号成立，而题中x≠y，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；xy＋≥2中当且仅当xy＝1时取等号，如x＝，y＝2即可取等号，D中不等式不恒成立．故选D.] 3．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(　　) A. B. C．－1 D．0 解析：D　[f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.] 4．(2023·全国模拟)已知a，b为非负数，且满足2a＋b＝6，则(1＋a2)(4＋b2)的最大值为(　　) A．40 B. C．42 D. 解析：D　[(1＋a2)(4＋b2)＝4＋4a2＋b2＋a2b2＝4a2＋b2＋4ab－4ab＋a2b2＋4 ＝(2a＋b)2＋(ab－2)2＝36＋(ab－2)2， 又0≤ab＝·2a·b≤2＝，当且仅当a＝，b＝3时取“＝”，则36＋(ab－2)2≤36＋2＝， 所以当a＝，b＝3时，(1＋a2)(4＋b2)的最大值为.] 5．(2023·湖北十堰三模)函数f(x)＝16x＋＋的最小值为(　　) A．4 B．2 C．3 D．4 解析：A　[因为16x＋≥2＝2×2x，当且仅当16x＝，即x＝0时等号成立， 2×2x＋＝2×2x＋≥2＝4，当且仅当2×2x＝，即x＝0时等号成立， 所以f(x)的最小值为4.故选A.] 6．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为(　　) A．16 B．25 C．36 D．49 解析：A　[因为a，b>0，＋＝1，所以a＋b＝ab，所以＋＝＝＝4b＋16a－20.又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋4a)＝20＋4≥20＋4×2＝36，当且仅当＝且＋＝1，即a＝，b＝3时取等号．所以＋≥36－20＝16.] 7．(多选)(2023·江苏泰州一模)下列函数中最小值为6的是(　　) A．y＝ln x＋ B．y＝6|sin x|＋ C．y＝3x＋32－x D．y＝ 解析：BC　[对于A选项，当x∈(0,1)时，ln x＜0，此时ln x＋＜0，故A不正确；对于B选项，y＝6|sin x|＋≥2＝6，当且仅当6|sin x|＝，即|sin x|＝时取“＝”，故B正确；对于C选项，y＝3x＋32－x≥2＝6，当且仅当3x＝32－x，即x＝1时取“＝”，故C正确；对于D选项，y＝＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即x2＝－7无解，故D不正确，故选BC.] 8．(多选)(2023·河北石家庄二模)设正实数m，n满足m＋n＝2，则下列说法正确的是(　　) A.＋上的最小值为2 B．mn的最大值为1 C.＋的最大值为4 D．m2＋n2的最小值为 解析：AB　[∵m＞0，n＞0，m＋n＝2， ∴＋＝(m＋n) ＝≥＝2， 当且仅当＝，即m＝n＝1时等号成立，故A正确； ∵m＋n＝2≥2，∴mn≤1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故B正确； ∵(＋)2≤2[()2＋()2]＝4，∴＋≤＝2，当且仅当m＝n＝1时等号成立，最大值为2，故C错误； m2＋n2≥＝2，当且仅当m＝n＝1时等号成立，故D错误．] 9．(多选)(2023·扬中市模拟)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab，则(　　) A．ab≥8 B．a＋b≤3＋2 C．2b＞4 D．log2(a－1)·log2(b－2)≤ 解析：ACD　[对于A,2a＋b＝ab≥2，则ab≥8，当且仅当a＝2，b＝4时，等号成立；对于B,2a＋b＝ab变形得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝＋2＋1＋≥3＋2，当且仅当＝，即b＝a＝2＋时，等号成立，故B错误；对于C，因为＋＝1，所以0＜＜1，即b＞2，则2b＞4；对于D，由2a＋b＝ab可得(a－1)(b－2)＝2，log2(a－1)＋log2(b－2)＝log2[(a－1)(b－2)]＝1，log2(a－1)·log2(b－2)≤2＝，当且仅当a－1＝b－2，即a＝＋1，b＝＋2，时等号成立．故选ACD.] 10．若函数f(x)＝(a<2)在区间(1，