热点强化课2 函数中的构造问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，北师大版）

热点强化课2　函数中的构造问题 [基础训练组] 1．(2023·河南高三月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝20，且f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)＞6x2＋2，则不等式f(x)＞2x3＋2x的解集为(　　) A．{x|x＞－2}　　 B．{x|x＞2} C．{x|x＜2} D．{x|x＜－2或x＞2} 解析：B　[令函数g(x)＝f(x)－2x3－2x，则g′(x)＝f′(x)－6x2－2＞0，所以g(x)在R上单调递增． 因为g(2)＝f(2)－2×23－2×2＝0，所以原不等式等价于g(x)＞0＝g(2)， 所以所求不等式的解集为{x|x＞2}，故选B.] 2．(2023·西安中学模拟)已知a，b，c∈，且＝－5ln a，＝－3ln b，＝－2ln c，则(　　) A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c 解析：A　[设函数f(x)＝xln x，f′(x)＝1＋ln x，当x∈，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增，当x∈，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，由题＝－5ln a，＝－3ln b，＝－2ln c，得aln a＝ln，bln b＝ln，cln c＝ln＝ln，因为＜＜＜，所以ln＞ln＞ln，则aln a＞cln c＞bln b，且a，b，c∈，所以a＞c＞b.] 3．(2023·广东潮州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＝0，当x＜0时，xf′(x)＋f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞) 解析：B　[构造函数F(x)＝xf(x)， 因为f(x)为奇函数，所以F(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝F(x)，所以F(x)为偶函数， 因为当x＜0时，xf′(x)＋f(x)＜0， 即F′(x)＜0， 所以x＜0时，函数F(x)单调递减，x＞0时，函数F(x)单调递增， 因为f(－1)＝0，所以F(－1)＝(－1)f(－1)＝0.F(1)＝0. 因为f(x)＞0，所以＞0，所以或，所以x＞1或－1＜x＜0.故选B.] 4．(2023·江苏模拟)f(x)在(0，＋∞)上的导函数为f′(x)，xf′(x)＞2f(x)，则下列不等式成立的是(　　) A．2 0212f(2 022)＞2 0222f(2 021) B．2 0212f(2 022)＜2 0222f(2 021) C．2 021f(2 022)＞2 022f(2 021) D．2 021f(2 022)＜2 022f(2 021) 解析：A　[令g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝＝， ∵xf′(x)＞2f(x)，∴g′(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴g(2 021)＜g(2 022)，即＜， ∴2 0212f(2 022)＞2 0222f(2 021)．] 5．(2023·山西一模)设a＝ln 3，b＝ln 2，c＝ln 3，则a、b、c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 解析：D　[构造函数f(x)＝，其中x＞0，则f′(x)＝， 当0＜x＜e时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(0，e)上单调递增， 因为0＜＜＜e，则f()＜f()，即＜，即ln 2＜ln 3， 所以b＜c， 因为35＝243＜256＝28，故5ln 3＜8ln 2，即ln 3＜ln 2＜ln 2，即a＜b， 因此，c＞b＞a.] 6．(2023·安徽合肥期末)若不等式ex－aln(ax－1)＋1≥0对∀x∈恒成立(e为自然对数的底数)，则实数a的最大值为(　　) A．e＋1 B．e C．e2＋1 D．e2 解析：A　[由题设，ax－1＞0在上恒成立， ∴，即a＞2， 原不等式可化为－ln＋＝ex－ln a－ln a－ln＋≥0， ∴ex－ln a－ln a≥ln－，即ex－ln a＋x－ln a≥x－＋ln， 令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1＞0，即f(x)在x∈上单调递增， 由上知：f(x－ln a)≥f，则x－ln a≥ln，即ln a≤x－ln在上恒成立， 令g(x)＝x－ln，则g′(x)＝，又x∈，a＞2， ∴x－－1＜0，x－＞0，即g′(x)＜0， 故g(x)在上单调递减， ∴ln a≤g(x)min＝1－ln ，故ln a＋ln＝ln(a－1)≤1，可得a≤e＋1， 综上，2＜a≤e＋1，故a的最大值为e＋1.] 7．(2023·江西萍乡三模)设a＝2ln 1.01，b＝－1，c＝，则(　　) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a