热点强化课9 第2课时 第2课时 定点、定值、探索性问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，北师大版）

第2课时　定点、定值、探索性问题 [能力提升组] 1．(2023·西安模拟)设F1，F2为椭圆C：＋＝1(b>0)的左，右焦点，M为椭圆上一点，满足MF1⊥MF2，已知△MF1F2的面积为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设C的上顶点为H，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值． 解：(1)由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝4，① 由MF1⊥MF2得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4(4－b2)，② 由题意得S△MF1F2＝|MF1|·|MF2|＝1，③ 由①②③，可得b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)依题意，H(0,1)，显然直线RS的斜率存在且不为0， 设直线RS的方程为y＝kx＋m(k≠0)， 代入椭圆方程并化简得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 由题意知，Δ＝16(4k2－m2＋1)>0， 设R(x1，y1)，S(x2，y2)，x1x2≠0，故x1＋x2＝，x1x2＝. kHR＋kHS＝＋＝＋ ＝2k＋(m－1)＝2k＋(m－1) ＝2k－＝. ∵直线RS过点(2，－1)，∴2k＋m＝－1， ∴kHR＋kHS＝－1. 故kHR＋kHS为定值－1. 2．(2023·陕西西安三模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的点G(4，t)(t＞0)到其准线的距离为5.不过原点的动直线交抛物线C于A，B点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N. (1)求抛物线C的方程； (2)当·＝1时，求证：直线AB过定点． 解：(1)由抛物线C的方程可得其准线方程x＝－， 依抛物线的性质得＋4＝5，解得p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)当直线AB的斜率为0时，显然不符合题意； 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝my＋n(n≠0)，A、B、M(x0，y0)，由化简得y2－4my－4n＝0，Δ＝16(m2＋n)＞0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， y0＝＝2m，所以N(－1,2m)，所以＝，＝， 所以·＝＋(y2－2m)·(y1－2m) ＝＋＋1＋y1y2－2m(y1＋y2)＋4m2 ＝n2＋＋1－4n－8m2＋4m2＝n2－2n＋1＝(n－1)2 若·＝1，即(n－1)2＝1，解得n＝2或n＝0(舍去)，所以直线AB过定点(2,0)． 3．(2023·江苏南通市模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过点P(0，)且斜率为1的直线l交双曲线C于A，B两点．且·＝3. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设Q为双曲线C右支上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M.使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设双曲线C的焦距为2c.由双曲线C的离心率为2，知c＝2a，所以b＝a，从而双曲线C的方程可化为－＝1. 令得2x2－2x－6－3a2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因为Δ＝(－2)2－4×2×(－6－3a2)＝72＋24a2＞0，所以x1＋x2＝，x1·x2＝ －3－a2. 因为·＝3， 所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋)(x2＋)＝3， 于是2x1x2＋(x1＋x2)＋6＝2×＋×＋6＝3，解得a＝1， 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)假设存在点M(t,0)(t＜0)满足题设条件． 由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0)． 设Q(x0，y0)(x0≥1)为双曲线C右支上一点． 当x0＝2时，因为∠QFM＝2∠QMF＝90°， 所以∠QMF＝45°，于是|MF|＝|QF|＝＝3，所以t＝－1. 即M(－1,0)． 当x0≠2时，tan∠QFM＝－kQF＝－， tan∠QMF＝kQM＝. 因为∠QFM＝2∠QMF， 所以－＝. 将y＝3x－3代入并整理得－2x＋(4＋2t)x0－4t＝－2x－2tx0＋t2＋3， 所以解得t＝－1. 即M(－1,0)．综上，满足条件的点M存在，其坐标(－1,0)． 4．(2023·湖南新邵县教研室模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2，过右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，点M(2,0)，设直线MA与直线MB的斜率分别为k1，k2. (1)求椭圆C的方程； (2)随着直线l的变化，k1＋k2是否为定值？请说明理由． 解：(1)因为焦距2c＝2，所以c＝1， 因为离心率e＝＝，所以a＝，所以b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)当直线l斜率为0，即为x轴时， 则k1＝0，k2＝0，所以k1＋k2＝0； 当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直