热点强化课10 概率统计与其他知识的交汇问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，北师大版）

热点强化课10　概率统计与其他知识的交汇问题(教师专享) [基础训练组] 1．(2023·全国模拟)为迎接2023年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立．若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜．甲答对每个问题的概率为，答错的概率为. (1)若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X，求X的分布列及数学期望； (2)若甲在回答过程中出现在第i(i≥2)个等级的概率为Pi，证明：{Pi－Pi－1}为等比数列． 解：(1)依题意可得，X＝5,6,7,8,9,10， P(X＝5)＝C5＝5＝，P(X＝6)＝C4＝5×4×＝， P(X＝7)＝C32＝，P(X＝8)＝C23＝， P(X＝9)＝C×4＝，P(X＝10)＝C5＝， 则X的分布列如表所示． X 5 6 7 8 9 10 P EX＝5×＋6×＋7×＋8×＋9×＋10×＝. (2)处于第i＋1个等级有两种情况： 由第i等级到第i＋1等级，其概率为Pi； 由第i－1等级到第i＋1等级，其概率为Pi－1； 所以Pi＋1＝Pi＋Pi－1， 所以Pi＋1－Pi＝－(Pi－Pi－1)， 即＝－. 所以数列{Pi－Pi－1}为等比数列． 2．甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n∈N＋)局，根据以往比赛胜负的情况知，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P(n)． (1)求P(2)与P(3)的值； (2)试比较P(n)与P(n＋1)的大小，并证明你的结论． 解：(1)若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局， ∴P(2)＝C4＋C4＝，同理 P(3)＝C6＋C6＋C6＝. (2)在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为n＋1局， 故P(n)＝C2n＋C2n＋…＋ C2n＝(C＋C＋…＋C)·2n ＝(C＋C＋…＋C－C)·2n＝ (22n－C)·2n＝， 所以P(n＋1)＝. 又∵＝＝＝＝>1， ∴>，∴P(n)<P(n＋1)． 3．(2023·重庆八中模拟)某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p(0＜p＜1)，，且各局比赛互不影响． (1)若p＝，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为f(p)，试问当p为何值时，f(p)取得最大值． 解：(1)由题可知，X的可能取值为2,3,4,5. 因为p＝，所以P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝×＝，P(X＝4)＝×＝， P(X＝5)＝×＝. 故X的分布列为 X 2 3 4 5 P EX＝2×＋3×＋4×＋5×＝. (2)设一天得分不低于4分为事件A， 则P(A)＝＋＝p， 则f(p)＝Cp3(1－p)2＝10p3(1－p)2， 0＜p＜1 则f′(p)＝30p2(1－p)2－20p3(1－p) ＝10p2(1－p)(3－5p)． 当0＜p＜时，f′(p)＞0；当＜p＜1时，f′(p)＜0， 所以f(p)在上单调递增，在上单调递减，故当p＝时，f(p)取得最大值． 4．(2023·威海模拟)体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于n(n∈N＋)份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n次．二是混合检验，将n份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这n份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这n份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则n份血液检验的次数共为n＋1次．已知每位体检人未患有该疾病的概率为(0＜p＜1)，而且各体检人是否患该疾病相互独立． (1)若p＝，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率； (2)某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案： 方案一：采用混合检验； 方案二：平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验． 若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．试问方案一、二哪个更“优”？请说明理由． 解：(1)该混合样本阴性的概率是3＝， 根据对立事件可得，阳性的概率为1－＝. (2)方案一：混在一起检验，方案一的检验次数记为X，则X的可能取值为1,7 P(