主题二 第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，北师大版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 [基础训练组] 1．(2023·呼和浩特市一模)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是(　　) A．y＝－x3　　　　　 B．y＝2|x| C．y＝x－2 D．y＝log3(－x) 解析：B　[选项A，函数是奇函数，不满足条件；选项B，函数是偶函数，当x＜0时，y＝2|x|＝2－x＝x是减函数，满足条件；选项C，函数是偶函数，当x＜0时，y＝x－2＝是增函数，不满足条件；选项D，函数的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选B.] 2．(2023·咸阳模拟)已知函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　) A．－1　　 B．1　 C．0　　 D．±1 解析：A　[由题意，得f(－x)＝－f(x)，则f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1， 得a＝－1(经检验符合题意)．] 3．(2023·黄冈中学二模)已知函数f(x)＝xln(e2x＋1)－x2＋1，f(a)＝2，则f(－a)的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－2 解析：B　[构造函数g(x)＝xln(e2x＋1)－x2，则g(－x)＋g(x)＝－xln (e－2x＋1)－x2＋xln(e2x＋1)－x2＝xln－2x2＝xln e2x－2x2＝0，故函数g(x)为奇函数．又f(a)＝g(a)＋1＝2，∴g(a)＝1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0.] 4．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，对∀x1，x2∈[0,3]且x1≠x2 ，都有＞0，则有(　　) A．f(49)＜f(64)＜f(81) B．f(49)＜f(81)＜f(64) C．f(64)＜f(49)＜f(81) D．f(64)＜f(81)＜f(49) 解析：A　[根据题意，函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)， 有f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，则函数f(x)是周期为6的函数， f(49)＝f(1＋6×8)＝f(1)， f(81)＝f(－3＋6×14)＝f(－3)， f(64)＝f(－2＋6×11)＝f(－2)， 又由函数为偶函数，则f(49)＝f(1＋6×8)＝f(1)， f(81)＝f(－3)＝f(3)， f(64)＝f(－2)＝f(2)， 又由对∀x1，x2∈[0,3]且x1≠x2，都有＞0， 则函数f(x)在区间[0,3]上为增函数， 进而有f(1)＜f(2)＜f(3)， 即f(49)＜f(64)＜f(81)．] 5．(2023·安庆市模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x＋1)＝f(x－1)，且当－1＜x＜0时，f(x)＝2x－1，则f(log220)等于(　　) A. B．－ C．－ D. 解析：D　[∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴函数f(x)是周期为2的周期函数， 又∵log232＞log220＞log216，∴4＜log220＜5， ∴f(log220)＝f(log220－4)＝f ＝－f. 又∵x∈(－1,0)时，f(x)＝2x－1， ∴f＝f＝－1＝－， f(log220)＝.故选D.] 6．(2023·安徽滁州月考)设函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，在区间[－1, 0)上是增函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则有(　　) A．f＜f＜f(1) B．f(1)＜f＜f C．f(1)＜f＜f D．f＜f(1)＜f 解析：A　[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，∴f＝－f，f(1)＝－f(－1)，f＝f＝－f，又－1＜－＜－＜0，且函数在区间[－1,0)上是增函数，∴f(－1)＜f＜f＜0，∴－f(－1)＞－f＞－f，∴f(1)＞f＞f，故选A.] 7．(多选)若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则(　　) A．f(2)>f(3) B．f(2)＝f(6) C．f(3)＝f(5) D．f(3)>f(6) 解析：BCD　[∵y＝f(x＋4)为偶函数， ∴f(－x＋4)＝f(x＋4)， ∴y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)． 又y＝f(x)在(4，＋∞)上单调递减，∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6)．] 8．(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)是以2为周期的周期函数 B．函数f(x)是以4为周期的周期函数 C．函数f(x＋2)为偶函数 D．函数f(x－3)为偶函数 解析：BC　[偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，即有f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，即为f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)