主题二 第二章 第9节 函数模型及应用-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，北师大版）

第9节　函数模型及应用 [基础训练组] 1．(2023·红桥区期末)面对突如其来的新冠病毒疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上下同心、众志成城抗击疫情的行动和成效，向世界展现了中国力量、中国精神．下面几个函数模型中，能比较近似地反映出如图中时间与治愈率关系的是(　　) A．y＝ax＋b　　　　 B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝ax D．y＝logax 解析：B　[由题图可知，治愈率先减后增，选项B符合题意，ACD选项均是单调函数，不符合题意．] 2．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2020年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　) A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 解析：C　[若2021年是第1年，则第n年全年投入的科研经费为1 300×1.12n万元，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋nlg 1.12>lg 2，所以n×0.05>0.19，得n>3.8，即n≥4，所以第4年，即2024年全年投入的科研经费开始超过2 000万元，故选C.] 3．(2023·香坊区三模)1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若2x＝，lg 2＝0.301 0，则x的值约为(　　) A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669 解析：A　[由2x＝，lg 2＝0.301 0，所以x＝log2＝＝＝＝≈1.322，即x的值约为1.322.故选A.] 4．(2023·海南海口二模)在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量Xn(单位：μg/μL)与PCR扩增次数n满足Xn＝X0×1.6n，其中X0为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1 μg/μL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10 μg/μL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为(参考数据：lg 1.6≈0.20，ln 1.6≈0.47)(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 解析：B　 [由题意知X0＝0.1，Xn＝10，令10＝0.1×1.6n，得1.6n＝100，取以10为底的对数得nlg 1.6＝2，所以n＝≈10.] 5．(2023·云南昆明一中期末)在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位；人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式：y＝－x＋40，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2 015人；假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件；下列说法错误的是(　　) A．实数m的值为10 000 B．销售单价越低，直播在线购买人数越多 C．当x的值为30时利润最大 D．利润最大值为10 000 解析：D　[ 因为在线购买人数y(单位；人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式：y＝－x＋40，单调递减，所以B正确； 将x＝25，y＝2 015代入y＝－x＋40， 可得2 015＝－25＋40，解得：m＝10 000，所以A正确； 由题意可得所得利润为： f(x)＝(x－20)＝－x2＋60x＋9 200＝－(x－30)2＋10 100， 所以当x＝30，最大利润为10 100元，C正确，D错误；] 6．(2023·山东师范大学附中模拟)已知某电子产品电池充满时的电量为3 000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则x的取值范围是(　　) A．1＜x＜2 B．1＜x≤2 C．8＜x＜9 D．8≤x＜9 解析：C　[由题意得，x小时后的电量为(3 000－300x)毫安，此时转为B模式， 可得10小时后的电量为(3 000－300x)·，则由题意可得(3 000－300x)·＞3 000×0.05， 化简得(10－x)·＞0.5， 即10－x＞29－x， 令m＝10－x，则m＞2m－1， 由题意得0＜x＜10，则0＜m＜10， 令m分别为1,2时，这个不等式左右两边大小相等， 由函数y＝x