主题二 第三章 第2节 利用研究函数的单调性-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，北师大版）

第2节　利用导数研究函数的单调性 [基础训练组] 1．(2023·天津崇化中学期中)函数y＝x2·e－x的递增区间是(　　) A．(0,2) B．(－∞，0) C．(－∞，0)，(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞) 解析：A　[由题意，函数f(x)＝x2·e－x＝，可得f′(x)＝， 令f′(x)＞0，即x(x－2)＜0，解得0＜x＜2，所以函数y＝x2·e－x的递增区间是(0,2)．故选A.] 2．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．] 3．(2023·湖北房县第一中学模拟)已知函数f(x)＝，不等式f(x2)＞f(x＋2)的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－2,1) 解析：B　[因为f(x)＝，所以f′(x)＝＜0，所以f(x)在R上单调递减， 则f(x2)＞f(x＋2)等价于x2＜x＋2，解得－1＜x＜2，即原不等式的解集为(－1,2)．] 4．(2023·沙坪坝区模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)＜，则对任意x1、x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，下列不等式中一定成立的有(　　) ①f(x1＋x2)＜f(x1)＋f(x2)；②f(x1)＋f(x2)＜f(x1)＋f(x2)；③；④f(x1x2)＜f(x1)f(x2)． A．①②③　　　　　 B．②④ C．②③ D．③ 解析：A　[由已知g(x)＝，则g′(x)＝＜0， 故g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 故(x1－x2)[g(x1)－g(x2)]＜0，展开即为②； 由于＞1，故g()＜g(1)，故③正确； 由于x1＋x2＞x1⇒g(x1＋x2)＜g(x1)⇒ f(x1＋x2)＜f(x1)， 同理f(x1＋x2)＜f(x2)，相加得f(x1＋x2)＜f(x1)＋f(x2)，故①正确； 取f(x)＝1，它符合题意，但是④并不成立，综上一定成立的有①②③，故选A.] 5．(2023·湖南师范大学附中模考)下列两数的大小关系中正确的是(　　) A．π3＞3π B.＞ C．2ln 3＜3ln 2 D．tan 1＜1 解析：B　[对于A，设f(x)＝(x＞e)， 则f′(x)＝， 则当x＞e时，f′(x)＜0，∴f(x)在(e，＋∞)上单调递减，∴f(3)＞f(π)， 即＞，即πln 3＞3ln π，∴ln 3π＞ln π3，则3π＞π3，A错误； 对于B，∵()12＝34＝81，()12＝43＝64， ∴()12＞()12，则＞，B正确； 对于C，∵2ln 3＝ln 32＝ln 9,3ln 2＝ln 23＝ln 8，ln 9＞ln 8，∴2ln 3＞3ln 2，C错误； 对于D，tan 1＞tan＝1，D错误．故选B.] 6．(2023·荆州模拟)已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，f(1)≠0，且满足f′(x)ln x＋＜0，则不等式(x－1)f(x)＜0的解集为(　　) A．(1，＋∞) B．(0,1) C．(－∞，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：D　[∵[f(x)ln x]′＝f(x)＋f′(x)ln x＜0， ∴g(x)＝f(x)ln x在(0，＋∞)上为减函数，而g(1)＝0， ∴在(0,1)上ln x＜0，g(x)＞0；在(1，＋∞)上ln x＞0，g(x)＜0；而f(1)＜0， ∴在(0，＋∞)上f(x)＜0，又函数f(x)为奇函数， ∴在(－∞，0)上f(x)＞0， 不等式(x－1)f(x)＜0等价于或，∴x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．] 7．(多选)(2023·全国模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f′(x)，对于任意x∈(0，＋∞)，都有xln xf′(x)＋f(x)＞0，则使不等式f(x)ln x＋1＞成立的x的值可以为(　　) A. B．1 C．2 D．3 解析：CD　[令g(x)＝f(x)ln x＋1－，所以g′(x)＝f′(x)ln x＋＋， 因为＞0，＞0，所以g′(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又g(1)＝0，可得g(x)＞0的解集为(1，＋∞)．] 8．(多选)(2023·广东模拟)已知f(x)＝(a2－1)ex－1－x2，若不等式f＞f在(1，＋∞)上恒成立，则a的值可以为(　　) A．－ B．－1 C．1 D. 解析：AD　[设y＝x－1－ln