主题二 第三章 第4节 导数的综合应用-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，北师大版）

第4节　导数的综合应用 [基础训练组] 1．已知函数f(x)＝xln x(x>0)． (1)求函数f(x)的极值； (2)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤成立，求实数m的最小值． 解：(1)由f(x)＝xln x，得f′(x)＝1＋ln x，定义域为(0，＋∞)， 令f′(x)>0，得x>；令f′(x)<0，得0<x<. 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增． 所以f(x)在x＝处取得极小值，且为f＝－，无极大值． (2)由f(x)≤， 得m≥. 问题转化为m≥min. 令g(x)＝＝2ln x＋x＋(x>0)． 则g′(x)＝＋1－＝ ＝. 由g′(x)>0，得x>1；由g′(x)<0，得0<x<1. 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以g(x)min＝g(1)＝4，则m≥4. 故m的最小值为4. 2．(2023·天津市南开中学月考)已知函数f(x)＝aln x＋x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝1时，证明：xf(x)<ex. 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋1＝.当a≥0时，f′(x)>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a<0时，若x∈(－a，＋∞)，则f′(x)>0； 若x∈(0，－a)，则f′(x)<0. 所以f(x)在(－a，＋∞)上单调递增， 在(0，－a)上单调递减． 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a<0时，f(x)在(－a，＋∞)上单调递增，在(0，－a)上单调递减． (2)当a＝1时，要证xf(x)<ex ， 即证x2＋xln x<ex，即证1＋<.令函数g(x)＝1＋， 则g′(x)＝.令g′(x)>0，得x∈(0，e)；令g′(x)<0，得x∈(e，＋∞)． 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 所以g(x)max＝g(e)＝1＋，令函数h(x)＝，则h′(x)＝. 当x∈(0,2)时，h′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0. 所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 所以h(x)min＝h(2)＝.因为－>0，所以h(x)min>g(x)max， 即1＋<，从而xf(x)<ex得证． 3．(2023·山东济南高三期末)已知函数f(x)＝－x3＋ax－，g(x)＝ex－e(e为自然对数的底数)． (1)若曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线与曲线y＝g(x)在(0，g(0))处的切线互相垂直，求实数a的值； (2)设函数h(x)＝试讨论函数h(x)零点的个数． 解：(1)f′(x)＝－3x2＋a，g′(x)＝ex，所以f′(0)＝a，g′(0)＝1，由题意，知a＝－1. (2)易知函数g(x)＝ex－e在R上单调递增，仅在x＝1处有一个零点，且x<1时，g(x)<0， 又f′(x)＝－3x2＋a， ①当a≤0时，f′(x)≤0，f(x)在R上单调递减，且过点，f(－1)＝－a>0， 即f(x)在x≤0时必有一个零点，此时y＝h(x)有两个零点； ②当a>0时，令f′(x)＝－3x2＋a＝0，得两根为x1＝－<0，x2＝>0， 则－是函数f(x)的一个极小值点，是函数f(x)的一个极大值点， 而f＝－3＋a－＝－－<0. 现在讨论极大值的情况： f＝－3＋a－＝－，当f<0，即a<时， 函数y＝f(x)在(0，＋∞)上恒小于零，此时y＝h(x)有两个零点； 当f＝0，即a＝时，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上有一个零点x0＝＝， 此时y＝h(x)有三个零点； 当f>0，即a>时，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上有两个零点，一个零点小于，一个零点大于， 若f(1)＝a－<0，即a<时，y＝h(x)有四个零点； 若f(1)＝a－＝0，即a＝时，y＝h(x)有三个零点； 若f(1)＝a－>0，即a>时，y＝h(x)有两个零点． 综上所述：当a<或a>时，y＝h(x)有两个零点；当a＝或a＝时，y＝h(x)有三个零点；当<a<时， y＝h(x)有四个零点． 4．(2023·天津崇化中学期末)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0. (1)求a、b的值； (2)证明：当x＞0，且x≠1时，f(x)＝. 解：(1)f′(x)＝－.由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，所以，即， 解得 (2)由(1)知f(x)＝＋，所以f(x)＞⇔＋＞⇔＋＞0⇔H(x)＝＞0.构造函数h(x)＝ln x－(x＞0)，则h′(x)＝－＝－≤0，于是h(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当0＜x＜1时，h(x)单调递减，所以h(x)＞h(1)＝0，于是H(x)＝h(x)＞0；当x＞1