专题14 利用“权方和不等式”快速求最值-备战2023年高考数学复习扫盲微专题系列

专题 ----- 利用“权方和不等式”快速求最值 【专题导航】 在教学不等式法求最值时，老师们一般讲解配凑均值不等式及变式系列，也会涉及选修4-5的配凑柯西-施瓦兹不等式.实际上，上述方法结构变形复杂，学生不易掌握.本专题提供一种新的不等式法，既好掌握，又可快速求最值，即“权方和不等式”. 【知识与方法简介】 一、四元变量的权方和不等式： 已知,且m>0,则 + ,当且仅当时，等号成立； 推论（1）：已知,且m=1,则 + ,当且仅当时，等号成立； 推论（2）：已知,且m=1则 + ,当且仅当时，等号成立. 二、多元变量的权方和不等式： 已知,且m>0,则 当且仅当时，等号成立. 推论（1）：已知,>0且=1,则 当且仅当时，等号成立. 推论（2）：已知且均不为0,则 当且仅当时，等号成立. 我们称m为不等式的权，权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化. 备注：m可以取任意实数，m与m+1符号不同时，不等号的方向有差异；因为高中常涉及到的是m>0，所以本专题只介绍m>0的权方和不等式. 【应用与练习】 题型一 已知整式和方程求分式和的最值 【例1-1】（直接用权方和不等式）已知a＞0，b＞0，且则的最小值是 ． 【例1-2】（构造二元和用权方和不等式）已知x>-1,y>0,且满足x+2y=1，求的最小值. 【例1-3】（构造三元和用权方和不等式）已知a，b，c为正实数,且满足a+4b+9c=4，求的最小值. 【能力达标训练】 【1-1】已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是 ． 【1-2】已知a>2b>0,且满足a+b=1，求的最小值. 【1-3】已知a，b，c为正实数,且满足a+b+c=1，求的最小值. 题型二 已知分式和方程，求整式和的最值 【例2-1】已知a>b>0,且满足，求a+b的最小值. 【能力达标训练】 【2-1】已知a>0，b>0,且满足，求a+2b的最小值. 题型三 求分式和的最值 【例3-1】已知x＞1，y＞1，则的最小值是 ． 【能力达标训练】 【3-1】已知则的最小值为 . 【3-2】已知，则的最小值为 . 题型四 杂合型求最值 【例4-1】已知a>b>0,且满足，求的最小值. 【能力达标训练】 【4-1】 已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是 ． 【4-2】已知正数满足，则的最小值为 . 【4-3】已知正实数x，y满足x+y＝xy，则的最小值是　 　． 题型五 求三角式相关和的最值 【例5-1】已知,求的最小值. 【能力达标训练】 【5-1】已知,求的最小值. 【5-2】已知,求的最小值. 【5-3】已知,求的最小值. 5 / 5 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 ----- 利用“权方和不等式”快速求最值 【专题导航】 在教学不等式法求最值时，老师们一般讲解配凑均值不等式及变式系列，也会涉及选修4-5的配凑柯西-施瓦兹不等式.实际上，上述方法结构变形复杂，学生不易掌握.本专题提供一种新的不等式法，既好掌握，又可快速求最值，即“权方和不等式”. 【知识与方法简介】 一、四元变量的权方和不等式： 已知,且m>0,则 + ,当且仅当时，等号成立； 推论（1）：已知,且m=1,则 + ,当且仅当时，等号成立； 推论（2）：已知,且m=1则 + ,当且仅当时，等号成立. 二、多元变量的权方和不等式： 已知,且m>0,则 当且仅当时，等号成立. 推论（1）：已知,>0且=1,则 当且仅当时，等号成立. 推论（2）：已知且均不为0,则 当且仅当时，等号成立. 我们称m为不等式的权，权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化. 备注：m可以取任意实数，m与m+1符号不同时，不等号的方向有差异；因为高中常涉及到的是m>0，所以本专题只介绍m>0的权方和不等式. 【应用与练习】 题型一 已知整式和方程求分式和的最值 【例1-1】（直接用权方和不等式）已知a＞0，b＞0，且则的最小值是 ． 【答案】；【解析】；当，即时，等号成立． 【例1-2】（构造二元和用权方和不等式）已知x>-1,y>0,且满足x+2y=1，求的最小值. 【答案】；【解析】因为x>-1，故x+1>0；=，所以由权方和不等式，可知． 【例1-3】（构造三元和用权方和不等式）已知a，b，c为正实数,且满足a+4b+9c=4，求的最小值. 【答案】2；【解析】由权方和不等式，可知 ==,所以的最小值为2． 【能力达标训练】 【1-1】已知a＞0，b＞0，且，