专题08 常被忽视的定积分-备战2023年高考数学复习扫盲微专题系列

专题 -----常被忽视的定积分 【专题导航】 定积分是高考数学理科试卷常考问题,一般以客观题形式出现,主要考查求定积分及利用定积分求曲边多边形的面积,难度是中等或中等以下,在高考试题中属于得分题,但由于教材中定积分的内容比较少,安排的课时比较少,教学中对其重视不够,致使相当一部分同学对定积分概念及几何意义理解不清,在基础试题上失分,实在可惜.总结近几年高考试卷定积分失分情况主要有以下几种类型：求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错,不会用函数的奇偶性求求积分,不会用面积法求积分, 对定积分几何意义理解不清致误或求解方法不正确，以定积分为载体，与其他数学知识综合．下面对这几类典型问题进行扼要剖析, 供同仁们教学参考，学生复习时清理盲点.[来源 知识点一一 求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错 罗师导航 要求定积分首先要要求出被积函数的原函数,为此对高中阶段我们需要掌握的函数如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、五个特殊的幂函数、三角函数、对勾函数等要会求其定积分．当被积函数比较复杂,看不出原函数时,我们可以先化简,再积分. 【例1-1】(直接求原函数）【人教新课标A版2-2第47页例1】利用定积分的定义，计算的值 【例1-2】(先化简，再求原函数）= （ ） A． B． C． D． 【例1-3】(先求积分边界）二项式的展开式中，含项的系数为，则（ ） A． B． C．1 D． 【例1-4】(求被积函数的解析式）已知,则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【能力达标训练】 【1-1】已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【1-2】（ ） A． B． C． D． 【1-3】( ) A． 0 B． C． D． 【1-4】（2014·陕西高考真题（理））定积分的值为(　 　) A． B． C． D． 【1-5】（2014·江西高考真题（理））若 ,则（ ） A． B． C． D． 【1-6】若，，，则（ ） A． B． C． D． 【1-7】【2015高考，理13】 . 知识点二 奇偶性与定积分 罗师导航 奇函数与偶函数在对称区间上的定积分（简称：“偶倍奇零”，秒杀选填） （1）若为偶函数，且在关于原点对称的区间上连续,则； （2）若为奇函数，且在关于原点对称的区间上连续,则。 【例2-1】计算（ ） A． B．0 C．1 D．-1 【能力达标训练】 【2-1】_______． 【2-2】___________． 知识点三 用面积法求积分 常被遗忘的定积分 罗师导航 当被积函数的原函数不易求出，常利用定积分的几何意义求定积分,高中阶段一些被积函数是二次根式的一般用面积法去求,求的时候注意取值区间. 【例3-1】定积分的值为（ ） A． B． C． D． 【例3-2】 ． 【能力达标训练】 【3-1】定积分的值为（ ） A． B． C． D． 【3-2】6（ ）． A． B． C． D． 【3-3】（ ） A． B．8 C． D． 【3-4】（2021·高二月考（理））___________. 【3-5】（2022·高二期中（理））___________. 【3-6】（2021·高二期中（理））已知函数，则＝_______． 【3-7】________ 知识点四 利用定积分求平面图形面积问题 罗师导航 （1）利用定积分求平面图形面积的步骤： ①根据题意画出图形； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． （2）已知图形的面积求参数 求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值． 【例4-1】求曲线与所围成的图形的面积，正确的是( ) A． B． C． D． 【例4-2】由直线，，曲线及轴所围图形的面积是（ ） A． B． C． D． 【例4-3】已知函数的图象如图所示，x轴与曲线相切于原点，所围成的区域(阴影)面积为. （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的值域.