专题09 圆锥曲线-【多选题抢分攻略】冲刺2023年高考数学·多选题高频考点精讲精练（新高考通用）

【多选题抢分攻略】冲刺2023年高考数学·多选题高频考点精讲精练（新高考通用） 专题09 圆锥曲线（高频重要考点） 目录一览 一、典例分析 二、考点梳理 三、专项突破训练 （1）直线与圆（★★★★） （2）椭圆（★★★★★） （3）双曲线（★★★★★） （4）抛物线（★★★★★） 四、答案速览 一、典例分析 【典例1】1．已知点，，且点在圆上，为圆心，则下列结论正确的是（    ） A．直线与圆相交所得的弦长为4 B．的最大值为 C．的面积的最大值为2 D．当最大时，的面积为1 【典例2】2．已知椭圆分别为椭圆的左，右焦点，分别是椭圆的左，右顶点，点是椭圆上的一个动点，则下列选项正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若为直角三角形，则这样的点有4个 C．直线与直线的斜率乘积为定值 D．椭圆C内接矩形的周长取值范围是 【典例3】 3．已知双曲线，O为坐标原点，过的右焦点作的一条渐近线的平行线交于点，交的另一条渐近线于点，则（    ） A．向量在上的投影向量为 B．若为直角三角形，则为等轴双曲线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 【典例4】 4．已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，交准线于点，则下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与轴相切 B．若抛物线上的点到的距离为2，则抛物线的方程为 C． 【典例详解】 【典例1】【分析】由圆的方程得圆C是以为圆心，以2为半径的圆，根据圆上点与两定点及直线MN的位置关系，分析选项正误. 【详解】圆C：，即，所以圆C是以为圆心，以2为半径的圆. 对于A，直线MN的方程为，过圆心，所以直线MN与圆C相交所得的弦长为直径4，故A项正确； 对于B，，当点P为MN的延长线与圆的交点时，等号成立，故B项正确； 对于C，设点P到直线MN的距离为d，则，因为直线MN过圆心，所以当时，最大为 ，故C项错误； 对于D，当MP与圆C相切时，最大，不妨设，此时，故D项正确. 故选：ABD. 【典例2】【分析】根据焦点三角形的性质以及余弦定理可得在椭圆的上下顶点处，最小，最大，进而可判断AB,由斜率公式可判断C，根据三角换元可判断D. 【详解】设椭圆上任意一点为，则， ， 由余弦定理得 ，当且仅当 等号成立，此时在椭圆的上下顶点处，最小，最大， 对于A,当在椭圆的上下顶点时，，故不存在点，使得，故A错误， 对于B, 当在椭圆的上下顶点时，的最小值为，此时为钝角，根据椭圆的对称性可知：当为直角时，此时有4个满足位置的点，当为直角时，满足条件的有2个，同理为直角时，也有2个满足条件的，故当为直角三角形时，有8个满足满足条件的，故B错误，（AB错误，则CD必然正确） 对于C，,所以,故C正确， 对于D，设不妨设是椭圆在第一象限得的内接矩形的一顶点，根据椭圆的对称性可知椭圆的内接矩形的四个顶点关于坐标轴对称，故矩形的周长为，故当 时， 在椭圆上，此时周长最大为8，当时，此时，此时在短轴上，不能构成矩形，故周长大于4，故周长的范围为，故D正确， 故选：CD 【典例3】【分析】由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|，可判断A，由已知可得渐近线的倾斜角为，可判断B，设，解得，可得，可判断C，设,可得，代入双曲线方程，化简可求渐近线方程，判断D. 【详解】对于A，由题意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|, Q在OF上的投影为OF的中点，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，若△OQF为直角三角形，可得渐近线的倾斜角为，，， 为等轴双曲线，故B正确； 对于C，若，设，则解得或(舍去)，设渐近线的倾斜角为，可得，，， ，，，，故C错误； 对于D，设直线的方程为，与渐近线的交点坐标为，若，则，设，， ，在双曲线上，，，， 的渐近线方程为，即，故D正确. 故选：ABD 【典例4】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件可判断AB，设直线的方程，与抛物线联立利用韦达定理法可得以为直径的圆与准线相切进而可判断C，根据圆的弦长公式求出的表达式可判断D， 【详解】由题意可得抛物线的焦点，准线方程为， 设，则的中点， 对于A，，则以为直径的圆的半径为，的中点的横坐标为， 所以的中点到轴的距离为，即以为直径的圆与轴相切，所以A正确； 对于B，因为抛物线上的点到的距离为2，所以，得，则抛物线的方程为，所以B错误； 对于C，设直线的方程为，则的中点， 由，得， 所以， 所以， 所以，则以为直径的圆的半径为，的中点的横坐标为， 所以的中点到准线的距离为，即以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切， 所以为切点，，，故C正确； 对于D，，所以当时，取得最小值，所以D错误. 故选：AC. 二、考点梳理 1.椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，