第3章 第7节 正弦定理与余弦定理的应用-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第7节　正弦定理与余弦定理的应用 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 通过解三角形的实际应用，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养 　　解三角形实际应用中的距离问题、高度问题、角度问题，正、余弦定理在平面几何中的应用问题，这些问题也是高考考查的重要内容，多以解答题的形式出现，难度中等 [必备知识] 解三角形在实际问题中的应用 (1)常见的几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． (2)实际应用中的常用术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线　上方　的叫做仰角，目标视线在水平视线　下方　的叫做俯角 方位角 从某点的正北方向线起按　顺时针　方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角，方位角的范围是　(0°，360°)　 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度 坡角 坡面与水平面的夹角 设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tan α 坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比 解三角形应用题的4步骤 [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　 ) (2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　 ) (3)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　　 ) (4)某人从A地向正东方向走了3米到达B地，再从B地向右转60°后又走了3米到达C地，则A、C两地间的距离是3米．(　　) (5)某人在A处测得一电线杆的仰角为15°，向前走了10米到达B处，又测得电线杆的仰角为30°，于是就说电线杆的高度为5米．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．如图，设点A，B在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出A，C两点间的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为(　　) A. m　　　　　 B．25 m C．50 m D．50 m 解析：C　[在△ABC中，∠ABC＝30°，由正弦定理得＝，即＝，所以AB＝50(m)，故选C.] 2．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为(　　) A．15 km B．30 km C．45 km D．60 km 解析：B　[如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°， 所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°. 在△AMB中，由正弦定理，得＝，解得BM＝30.] 3．有一坡面长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长(　　) A．5 m B．10 m C．10 m D．10 m 解析：C　[如图，∠BDA＝75°，∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，BD＝10 m．由正弦定理，得＝， 所以CD＝＝ ＝10(m)．] 4．(2022·浙江卷，11)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝　________　. 解析：三角形的三边a＝，b＝，c＝2代入公式得S＝＝. 答案： 5．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为　________　 m. 解析：过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°. 又∠BAD＝45°－30°＝15°， 故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝ ＝＝500(＋)(m)． 所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45° ＝500(＋1)(m)． 答案：500(＋1) 　测量距离问题(应用点) [典例]　为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一铅垂平面内．飞机已经测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示)． 甲乙两位同学各自