第05讲 函数的解析式求法（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第05讲 函数的解析式求法 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． 3．函数的表示法 解析法 图象法 列表法 就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值. 就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值. 就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 4.区间 设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定： 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a,b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a,b] 定义 区间 数轴表示 {x|x≥a} [a,+∞) {x|x>a} (a,+∞) {x|x≤a} (-∞,a] {x|x<a} (-∞,a) R (-∞,+∞) 取遍数轴上所有值 5．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 考点一 待定系数法求函数解析式 考点二 换元法求函数解析式 考点三 配凑法求函数解析式 考点四 构造方程组法求函数解析式 考点五 利用奇偶性求函数解析式 考点一：待定系数法求函数解析式 例1．已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为奇函数 D．为减函数 【答案】C 【分析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】因为幂函数的图象过点，所以，所以， 所以，定义域为，值域为，故A错误，B错误； ，即为奇函数，故C正确； 分别在，上单调递减，由可知在定义域上不是减函数，故D错误. 故选：C. 对点变式．已知，且的图象如图所示，则等于（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据函数图象经过的点求得，从而求得. 【详解】函数的图象经过，所以，解得， 故， 因此. 故选：C 考点二：换元法求函数解析式 例2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求得解析式，即可得出所求. 【详解】令，则，，即， 则. 故选：A. 对点变式．已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】因为，， 令，则，， 所以，， 故，， 故选：C 例3．设是定义域为R的单调函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元，利用函数的单调性及函数值即可求出函数解析式，然后求函数值. 【详解】令，则， 因为是定义域为R的单调函数， 所以t为常数，即， 所以，解得， 所以， 故. 故选：B 对点变式．已知定义在上的函数单调递减，且对任意恒有，则函数的零点为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】设,可得，根据单调性可得，从而可求，令可求零点. 【详解】设，则， 方程等价为， 令，则， 满足方程， ∵函数单调递减， ∴值唯一，∴， 由得，解得， 故函数的零点为2. 故选:C. 考点三：配凑法求函数解析式 例4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用配凑法求解析式. 【详解】因为，所以. 故选:B 对点变式．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的解析式，再代入求解. 【详解】 故选：A 考点四：构造方程组法求函数解析式 例5．若函数；且，则______. 【答案】7 【分析】由题得，，得到方程组，解出即可. 【详解】，，， 即，解得，故， 此时， 故答案为：7. 对点变式．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知和分别是定义在上的偶函数和奇函数，若，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】先利用奇偶性，列出方程组算得，令，用基本不等式求最小值. 【详解】由和分别是定义在上的偶函数和奇函数， 则，， 故，① ，② ①+②得，故， 令，则，则， 当且仅当，即时取等， 故的最小值为1， 故选：B. 考点五：利用奇偶性求函数解析式