第04讲 数系的扩充与复数的引入（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第04讲 数系的扩充与复数的引入 1.复数的有关概念 (1)复数的意义：形如z＝a＋bi (a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做实部，b叫做虚部，复数集记作C，数集N、Z、Q、R、C的关系：. (2)复数的模：z＝a＋bi，|z|＝． (3)复数相等：z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1＝z2，则a1＝a2，b1＝b2． (4)共轭复数：z＝a＋bi，＝a－bi；z与互为共轭复数． 2. 复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝(c＋di≠0)． 3.复数的几何意义 (1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． (2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数． 4.复数的几何表示 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b) (a，b∈R)是一一对应关系． 5.复数的三角表示式 (1)定义:r(cos θ+isin θ)叫做复数z=a+bi的三角形式.其中，r是复数z的模;θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角. (2)非零复数z辐角θ的多值性，复数z的辐角是θ+2kπ(k∈Z). (3)辐角的主值 ①定义及表示:在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，即0≤arg z<2π. ②唯一性:复数z的辐角的主值是确定唯一的. 特别注意:当z=0时，其辐角是任意的. (4)复数的代数形式与三角形式的互化 复数z=a+bi=r(cos θ+isin θ)的两种表示形式之间的关系为 6.复数乘、除运算的三角表示 (1)复数三角形式的乘法 设的三角形式分别是， 则. 记忆：模数相乘，辐角相加. (2)复数三角形式的除法 定义:设z1，z2的三角形式分别是， 则. 记忆：模数相除，辐角相减. 7.常用结论 (1) 的性质 当时，. (2) ， 考点一 复数的分类与共轭复数等概念问题 考点二 根据复数相等的条件求参数或复数 考点三 复数的几何意义问题 考点四 复数的三角形式问题 考点一：复数的分类与共轭复数等概念问题 例1．若是纯虚数，则a＝（    ） A．－1 B．1 C．－9 D．9 【答案】A 【分析】先将复数化简，再根据纯虚数列出方程组求解即可. 【详解】, 因为是纯虚数，故，得， 故选：A. 对点变式．已知复数是纯虚数，是实数，则（    ） A．－ B． C．－2 D．2 【答案】A 【分析】由题意设，代入中化简，使其虚部为零，可求出的值，从而可求出复数，进而可求得其共轭复数. 【详解】由题意设， 则， 因为是实数，所以，得， 所以， 所以， 故选：A. 考点二：根据复数相等的条件求参数或复数 例2．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知为实数，复数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】把代入中计算出的值，再计算. 【详解】因为，所以，则，. 因为，所以，解得，故. 故选：B 对点变式．（2023·全国·模拟预测）已知复数，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据共轭复数的概念及复数相等求解即可得解. 【详解】因为，， 所以可得，即，， 所以，所以， 故选：B． 考点三：复数的几何意义问题 例3．（2023·云南昆明·统考一模）欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断 【详解】由题意可得：对应的点为， ∵，则， 故位于第二象限. 故选：B. 对点变式．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 例4．（2023·重庆·统考二模）复平面内复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数模的几何意义得出对应点的轨