第03讲 不等关系与基本不等式（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第03讲不等关系与基本不等式 1．比较大小的法则 关系 法则 作差法则 作商法则 a>b a-b>0 >1(b>0)或<1(b<0) a=b a-b=0 =1(b≠0) a<b a-b<0 <1(b>0)或>1(b<0) 2.不等式的基本性质 性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b,b>c⇒a>c 同向 性质3 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 性质4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 性质5 同向可加性 ⇒a+c>b+d 同向 性质6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向、 正项 性质7 乘方法则 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) 同正 3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实数根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R 一元二次不等式 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 4.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 5.常用结论 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R); (2)≥2(a,b同号); (3)ab≤(a,b∈R); (4)(a,b∈R); 考点一 作差法比较大小 考点二 一元二次型不等式恒成立问题 考点三 一元二次不等式能成立问题 考点四 基本不等式中“1”的妙用 考点五 利用基本不等式求参数范围 考点一：作差法比较大小 例1．若，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用作差法可确定AD正误；通过反例可知BC错误. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，当，时，，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：D. 对点变式．（2023·湖南·模拟预测）已知正实数x，y满足，设，，（其中为自然对数：），则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差比较法，结合指数函数的单调性可得答案. 【详解】因为，，，所以 又，，所以，所以； 又， 又，，所以． 综上，． 故选：A． 考点二：一元二次型不等式恒成立问题 例2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可. 【详解】因为对任意的，都有恒成立， ∴对任意的恒成立． 设， ，， 当，即时，， ∴实数a的取值范围是. 故选：D. 对点变式．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知在上恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以在上恒成立， 当时，，得，不合题意， 当时，则，解得， 综上实数的取值范围为， 故选：C 考点三：一元二次不等式能成立问题 例3．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果. 【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 对点变式．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得在区间上有解，求出在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围． 【详解】因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 设，，其中在区间上单调递减， 所以有最小值为， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 考点四：基本不等式中“1”的妙用 例4．设，，且，则的最小值为（ ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用均值不等式“1”的妙用求解作答. 【详解】因为，，且，则有， 因此，当且仅当，即时