第02讲 常用逻辑用语（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第02讲 常用逻辑用语 1、充分条件与必要条件 定义 从集合观点看 若p⇒q,则p是q的充分条件 若集合A⊆B,则p是q的充分条件 若q⇒p,则p是q的必要条件 若集合B⊆A,则p是q的必要条件 若p⇒q,且q⇏p,则p是q的充分不必要条件 若集合A⫋B,则p是q的充分不必要条件 若q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件 若集合B⫋A,则p是q的必要不充分条件 若p⇔q,则p是q的充要条件 若集合A=B,则p是q的充要条件 若p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件 若集合A⊈B,且B⊈A,则p是q的既不充分也不必要条件 2、全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词． (2)全称量词命题：含有全称量词的命题． (3)全称量词命题的符号表示： 形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)． 3、存在量词与存在量词命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词． (2)存在量词命题：含有存在量词的命题． (3)存在量词命题的符号表示： 形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)． 4、全称量词命题与存在量词命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,¬p(x) ∃x∈M,p(x) ∀x∈M,¬p(x) 考点一 充分或必要条件的判定及性质 考点二 根据充分不必要或必要不充分条件求参数 考点三 全称量词命题或存在量词命题的否定及其真假判断 考点四 根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数 考点一：充分或必要条件的判定及性质 例1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用高次不等式的解法，结合充分条件必要的条件的定义即可求解. 【详解】由，得，即，解得或， 所以“”是“或”的充分不必要条件,即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 对点变式：已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据数量积的定义，充分必要条件的定义判断． 【详解】若，，，则， 但，所以充分性不成立. 若，则，所以， 所以成立，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 例2. “不等式在R上恒成立”的必要不充分条件是（    ） A．m>0 B．m< C．m<1 D．m> 【答案】A 【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分条件，必要条件的概念求出选项. 【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以等价于二次方程的判别式，即. 易知D选项是充要条件，不成立； A选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确； B选项中，不可推导出，B不成立； C选项中，不可推导，C不成立. 故选：A. 对点变式：4．（2023·全国·高三专题练习）“”是“直线与圆：相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线和圆相交时圆心到直线的距离和半径的关系判断“”和“直线与圆：相交”的逻辑推理关系，即可判断答案. 【详解】设圆：的圆心到直线的距离为d， 则 ， 当直线与圆：相交时，， 解得， 当时，一定成立， 当时，推不出，因为可能是， 故“”是“直线与圆：相交”的必要不充分条件， 故选：B 考点二：根据充分不必要或必要不充分条件求参数 例3.已知条件实数满足，条件实数满足，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，必要而不充分条件等价为集合的包含关系，即可列不等式组求解. 【详解】，因为是的必要而不充分条件， 所以，所以且等号不同时成立，所以， 故选：B. 对点变式：若“”是“”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为_______________． 【答案】 【分析】先由集合与充分必要的关系得到是的真子集，从而利用数轴法得到，由此得解. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集， 因为等价于， 所以是的真子集， 所以， 所以实数a能取的最大整数为. 故答案为：. 考点三：全称量词命题或存在量词命题的否定及其真假判断 例4．命题“，”的真假以及否定分别为（    ） A．真，， B．假，， C．假，， D．真，， 【答案】A 【分析】由对数函数性质判断其真假，再由命题的否定的定义判断． 【详解】， 则当时，，，故原命题为真， 其否定为，， 故