第06讲 函数定义域与最值求法（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第06讲 函数定义域与最值求法 1.常见函数的定义域： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. (5)y＝tan x的定义域为. (6)函数f(x)＝xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}. 2.求值域常用的方法：图像法；配方法；换元法；分离变量法； 3.增函数与减函数的定义 ： 条件 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I.如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时, 称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时, 称它是减函数 图示 结论 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间 4.常用结论 (1)基本初等函数的单调区间 函数 条件 单调递增区间 单调递减区间 正比例函数(y=kx,k≠0)与 一次函数(y=kx+b,k≠0) k>0 R 无 k<0 无 R 反比例函数 k>0 无 (-∞,0)和(0,+∞) k<0 (-∞,0)和(0,+∞) 无 二次函数(y=ax2+bx+c,a≠0) a>0 (2)单调函数的运算性质 1)若f(x),g(x)均在区间A上单调递增(减),则f(x)+g(x)也在区间A上单调递增(减); 2)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反; 3)函数在公共定义域内与y=f(x)的单调性相反; 4)函数在公共定义域内与y=f(x)的单调性相同. 注意:f(x)g(x),的单调性与f(x),g(x)的单调性之间的关系并不确. 考点一 具体函数定义域求法 考点二 抽象函数定义域求法 考点三 求解对数函数复合型函数的定义域 考点四 单调性法求函数值域 考点五 分离常数法求函数值域 考点一：具体函数定义域求法 例1．函数的定义域是______. 【答案】 【分析】根据对数的真数大于零和开偶数次方根号里的数大于等于零，再结合正切函数的单调性即可得解. 【详解】由， 得，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 对点变式．函数的定义域是_____________. 【答案】 【分析】根据分式以及0次方满足的关系即可求解. 【详解】的定义域满足 ，解得且， 故答案为： 考点二：抽象函数定义域求法 例2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得的定义域，然后结合求得的定义域. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以对于，有，解得，即的定义域为； 由解得， 所以的定义域为. 故选：A 对点变式．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，则，即的定义域为，解不等式得到答案. 【详解】函数的定义域为，，则， 即的定义域为，取，解得， 故函数的定义域为. 故选：D 考点三：求解对数函数复合型函数的定义域 例3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的真数大于零，分式的分母不为零，以及可求得结果. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使有意义，则 ，解得且， 所以原函数的定义域为， 故选：C． 对点变式．已知函数的定义域为_______． 【答案】 【分析】根据函数有意义的条件，解出函数的定义域. 【详解】函数有意义，则有，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 考点四：单调性法求函数值域 例4．当时，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性得出值域. 【详解】因为指数函数在区间上是增函数，所以， 于是，即 所以函数的值域是. 故选：C. 对点变式．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________ 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性直接求解即可. 【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，， 的值域为. 故答案为：. 考点五：分离常数法求函数值域 例5．高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数