第2章 第13节 第3课时 利用导数研究函数的零点问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教B版）

第三课时　利用导数研究函数的零点问题 1．(2023·武汉调研)已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求f(x)的单调区间； (2)讨论g(x)＝f(x)·在区间[0,1]上零点的个数． 解：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a， 当a≤0时，f′(x)>0恒成立， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间； 当a>0时，令f′(x)<0，得x<ln a，令f′(x)>0，得x>ln a， ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)． (2)令g(x)＝0，得f(x)＝0或x＝， 先考虑f(x)在区间[0,1]上的零点个数， ①当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且f(0)＝0， ∴f(x)在[0,1]上有一个零点． ②当a≥e时，f(x)在(－∞，1)上单调递减， ∴f(x)在[0,1]上有一个零点． ③当1<a<e时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a,1)上单调递增． 而f(1)＝e－a－1，当e－a－1≥0，即1<a≤e－1时，f(x)在[0,1]上有两个零点； 当e－a－1<0，即e－1<a<e时，f(x)在[0,1]上有一个零点． 再考虑x＝时，由f＝0，得a＝2(－1)． 综上所述，当a≤1或a>e－1或a＝2(－1)时，g(x)在[0,1]上有两个零点； 当1<a≤e－1且a≠2(－1)时，g(x)在[0,1]上有三个零点． 2．(2023·蚌埠市一模)已知函数f(x)＝x2－ln x的图像在点处的切线斜率为0. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若g(x)＝f(x)＋mx在区间(1，＋∞)上没有零点，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－.因为f′＝1－a＝0，所以a＝1，f(x)＝x2－ln x，f′(x)＝2x－＝. 令f′(x)＞0，得x>；令f′(x)＜0，得0<x<， 故函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是. (2)g(x)＝x2－ ln x＋mx，由g′(x)＝2x－＋＝＝0，得x＝. 设x0＝，所以g(x)在(0，x0]上是减函数，在[x0，＋∞)上为增函数． 因为g(x)在区间(1，＋∞)上没有零点，所以g(x)＞0在(1，＋∞)上恒成立． 由g(x)＞0，得m>－x，令y＝－x，则y′＝－1＝. 当x＞1时，y′＜0，所以y＝－x在(1，＋∞)上单调递减， 所以当x＝1时，ymax＝－1，故m≥－1， 即m∈[－2，＋∞)． 3．(2023·西宁市模拟)函数f(x)＝ax2－(1＋a)x＋ln x(a≥0)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝0时，方程f(x)＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围． 解：(1)f′(x)＝(x＞0)， (ⅰ)当a＝0时，f′(x)＝，令f′(x)＞0，得0＜x＜1，令f′(x)＜0，得x＞1，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，(1，＋∞)上单调递减； (ⅱ)当0＜a＜1时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝＞1， 令f′(x)＞0，得0＜x＜1，或x＞，令f′(x)＜0，得1＜x＜，函数f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减； (ⅲ)当a＝1时，f′(x)≥0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (ⅳ)当a＞1时，0＜＜1，令f′(x)＞0，得0＜x＜，或x＞1，令f′(x)＜0，得＜x＜1，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，上单调递减； 综上所述：当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)； 当0＜a＜1时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和，单调递减区间为； 当a＝1时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当a＞1时，函数f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为. (2)当a＝0时，f(x)＝－x＋ln x，由f(x)＝mx， 得－x＋ln x＝mx， 又x＞0，所以m＝－1， 要使方程f(x)＝mx在区间[1，e2]上有唯一实数解， 只需m＝－1有唯一实数解， 令g(x)＝－1(x＞0)，∴g′(x)＝， 由g′(x)＞0得0＜x＜e；g′(x)＜0得x＞e， ∴g(x)在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数． g(1)＝－1，g(e)＝－1，g(e2)＝－1， 故－1≤m＜－1或m＝－1. 4．(2022·全国甲卷，21)已知函数f(x)＝－ln x＋x－a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2＜1. 解：(1)由题