3.1.2 函数的单调性 第1课时课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.2 函数的单调性 新授课 3.1 函数的概念与性质 第1课时 1.理解函数的单调性的概念，能判断和证明一些简单函数的单调性 2.会求一些简单函数的最大值或最小值 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 情境与问题：艾宾浩斯记忆遗忘曲线 以x表示时间间隔，y表示记忆保持量，y是x的函数，这个函数反映出记忆具有什么规律？ 4 7 6 5 3 2 1 20% 40% 60% 80% 100% 记忆保持量 时间间隔/h 9 8 新课讲授 学习目标 课堂总结 从正比例函数y=2x的图像可以看出，自变量由小变大时，函数值逐渐变大，即y随x的增大而增大； 知识点1：函数的单调性 O 1 y 1 x 从反比例函数 的图像可以看出，在(-∞,0)和(0,+∞)内，函数值y都随x的增大而减小. 问题：怎样用不等式符号表示“y随x的增大而增大”“y都随x的增大而减小”？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 （2）如果对任意x1,x2 ∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2) ，则称函数f(x)在I上是减函数（也称在I上单调递减）； （1）如果对任意x1,x2 ∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2) ，则称函数f(x)在I上是增函数（也称在I上单调递增）； 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D: 新课讲授 学习目标 课堂总结 O 1 y 1 x 在(-∞,0)上是减函数，在（0,+∞)上也是减函数. 思考：能否说 在定义域内是减函数？为什么？ 两种情况下，都称函数在I上具有单调性（当I为区间时，称I为函数 的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间） 由增函数和减函数的定义可知，y=2x,在R上是增函数； 新课讲授 学习目标 课堂总结 如图所示的函数y=f(x),在[-6，-4]上是增函数，在[-4,-2]上是减函数，在[-2,1]上是_____函数，在[1,3]上是______函数，在[3,6]上是_______函数. O -3 y x -6 -5 -4 -2 -1 3 6 5 4 2 1 增 增 减 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 求证：函数f(x)=-2x在R上是减函数. 解：任取x1,x2 ∈R且x1＜x2，则x1-x2＜0， 那么f(x1)-f(x2)=(-2x1)－(-2x2)=2(x2－x1)＞0， 因此，函数f(x)=-2x是减函数. 从而f(x1)＞f(x2)， 新课讲授 学习目标 课堂总结 用定义证明函数的单调性的步骤: 1.取数:任取x1,x2 ∈I，并假定它们之间的大小关系(x1＜x2或x1＞x2)； 2.作差:f(x1)-f(x2)，判断差f(x1)与f(x2)之间的大小关系； 3.结论:指出函数f(x)在集合I上的单调性. 总结归纳 新课讲授 学习目标 课堂总结 下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 C 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 一般地,设函数f(x)的定义域为D,且x0∈D:如果对任意x∈D,都有f(x)≤f(x0),则称f(x)的最大值为f(x0),而x0称为f(x)的最大值点; 知识点2：函数的最值 最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值点. 如果对任意x∈D,都有f(x)≥f(x0),则称f(x)的最小值为f(x0),而x0称为f(x)的最小值点. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 判断函数f(x)=3x+5，x∈[1,-6]的单调性，并求这个函数的最值. 解：任取x1,x2 ∈[1,-6]且x1＜x2，则x1-x2＜0， 那么f(x1)-f(x2)=(3x1+5)－(3x2+5)=3(x1－x2)＜0， 所以这个函数是增函数， 因此，当-1≤x≤6时，有f(-1)≤f(x)≤f(6)， 从而这个函数的最小值为f(-1)=2,最小值f(6)=23. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 利用单调性求函数最值的一般步骤: 1.判断函数的单调性； 2.利用单调性求出最大（小）值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 函数y＝x3＋1(x∈[0，2])的最小值是(　　) A．1 B．5 C．8 D．10 A 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3 已知函数 f(x)=x2-2x-3,若x∈[0,2],求函数 f(x)的最值. 解：函数 f(x)=x2-2x-3的