2.1 椭圆定义及性质 讲义-2022-2023学年高二数学北师大版选修1-1

圆锥曲线 第1节 椭圆定义及性质 知识点过关 1、 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注明：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在. 二、椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示.（如下表） 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长 短轴长 长轴长 短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 （选记） 点和椭圆 的关系 切线方程 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为便得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 右焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，,, 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 圆锥曲线 椭圆定义及性质 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1. 椭圆焦半径的推导 设点，代入椭圆方程得： ， 又∵ 又∵，∴,同理可得 第二定义： 2. 椭圆焦半径的角度表达式 ， ， 同理 弦长 3. 焦点三角形面积公式推导 设则焦点 的面积 证明：在中，有余弦定理可得：①， ②， ②-①得， 4. 焦点三角形内心及重心坐标及轨迹： 设椭圆上一点，则焦点的重心为 设焦点的内心为，的角平分线交轴与点 由角平分线性质可得 ， 又 即, ， 代入椭圆方程得：，即 5. 椭圆上一点切线的形式：（焦点三角形顶点处的切线与角平分线的关系，光学性质） 椭圆上一点处的切线方程： ,，即切线与的角平分线垂直. 光学性质：椭圆焦点发出的光，经椭圆反射，反射线过另一焦点 1.1 椭圆的定义 例1. 如果点在运动的过程中，满足关系式，那么点的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的标准方程. 【变式1-1】 已知点，动点满足，则动点的轨迹是下面哪种曲线（ ） A. 椭圆 B. 圆 C. 直线 D. 线段 例2. （2021·全国高三专题练习）已知点是椭圆：上一点，，分别是圆和圆上的点，那么的最小值为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式2-1】 （2020·成都七中6月高三（理科））在平面直角坐标系中，已知的顶点，，顶点在椭圆上，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】 （2020·浙江杭州市·高一期末）已知定点，，是椭圆上的动点，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D．3 【变式2-3】 （2021·全国高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上且异于长轴端点，点，在所围区域之外，且始终满足，，则的最大值为（ ） A．8 B．7 C．10 D．9 例3. （2021·成都七中高三月考（文））设椭圆：的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于，两点，若，那么___________. 【变式3-1】 （2021·甘肃庆阳市·高二期末（理））过原点作直线与椭圆交于不同的两点，，为椭圆的左焦点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】 （2021·江西高三二模（理））已知是椭圆的左焦点，椭圆上一点关于原点的对称点为，若的周长为．则离心率（ ） A． B． C． D． 例4. （2021·上海高二专题练习）设、分别是椭圆（）的左、右焦点，过的直线l与椭圆E相交于，两点，且，则的长为（ ） A． B．1 C． D． 【变式4-1】 （2020·广东实验中学高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为5，则的值为（ ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】 （2020·四川省泸县第四中学高二月考（理））已知点，椭圆与直线交于点，，则的周长为（ ） A．4