秘籍02 函数及其性质（47个考点）（含最值的求法：基本不等式、函数图象、导数等）-备战2023年高考数学抢分秘籍（全国通用）

秘籍02 函数（47个考点） 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 选择题、填空题 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 必考 1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 2.已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 3.函数的对称性与单调性，指数式、对数式的大小比较． 比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小． 4.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 5.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用． 6.新定义的函数问题以及函数的有解问题，涉及到求函数的值域问题. 求函数最值和值域的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 7.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征 α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立. 8.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较. 9.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0<a<1和a>1两种情况分类讨论. 10.对数值取正、负值的规律 当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，logab>0； 当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，logab<0. 11.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决. 12.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性. 13.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定. 一．函数的概念及其构成要素（共1小题） 1．（2022•咸阳三模）已知集合M0＝{x|0＜x＜1}，给定一个函数y＝f（x），定义集合Mn＝{y|y＝f（x），x∈Mn﹣1}，若Mn∩Mn﹣1＝∅对任意的n＝N*成立，则称该函数y＝f（x）具有性质“&”． （1）写出一个具有性质“&”的一次函数：　y＝x+1（答案不唯一）　； （2）给出下列函数①，②y＝x2+1，③，其中具有性质“&”的函数的序号是：　①②　（写出所有正确答案的序号） 【分析】（1）可取y＝x+1，由集合的运算和函数的值域求法，结合新定义可判断； （2）分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断． 【解答】解：（1）可取y＝x+1， 由M0＝{x|0＜x＜1}，Mn＝{y|y＝f（x），x∈Mn﹣1}， 可得M1＝{y|1＜y＜2}，M2＝{y|2＜y＜3}， …，Mn﹣1＝{y|n﹣1＜y＜n}，Mn＝{y|n＜y＜n+1}， 满足Mn∩Mn﹣1＝∅对任意的n∈N*成立；