精品解析：陕西省西安市铁一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

2022-2023-2高一年级期中考试 数学试题 命题人：王刚 审题人：占金虎 时间：120 满分：120 一、单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，已知为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量满足：，则与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 如图为水平放置的直观图，其中，，那么原的面积是（ ） A. B. C. D. 2 4. 在中，若，则该三角形的形状是( 　) A 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，，E为棱中点，则平面截正方体的截面面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8. 已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共4小题，每小题4分，共计16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. D. 10. 下列关于向量的命题正确的是（ ） A. 非零向量，满足，则 B. 向量共线的充要条件是存在实数，使得成立 C. 在中，，该三角形有两个解 D. 若，为锐角，则实数的范围是 11. 在△ABC中，若，下列结论中正确的有（ ） A. B. △ABC钝角三角形 C. △ABC中最大角是最小角的2倍 D. 若，则△ABC外接圆的半径为 12. 已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案写在答题卡中的横线上） 13. 已知向量,则___________． 14. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是__． 15. 如图，在棱长为1的正方体中，点 E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若 平面AEF，则线段长度的取值范围是 _________ . 16. 在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在最大值，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（本题共6小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 17. 已知复数，其中i为虚数单位. （1）若复数z为纯虚数，求m的值； （2）若，求m的值. 18. 如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点． （1）当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积； （2）当P在线段上移动时，求的最小值． 19. 如图，已知点是重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值． 20. 如图，在扇形中，圆心角等于60°，半径为4，在弧上有一动点，过引平行于的直线和交于点，设. （1）若点为的中点，试求的正弦值； （2）求面积的最大值及此时的值. 21. 如图：已知三棱柱中，D为BC边上一点，为中点，且∥平面．证明：平面平面． 22. 在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于、两点． （1）如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求的值； （2）若角的终边与单位圆交于点，经点、、分别作轴垂线，垂足分别为、、．求证：线段、、能构成一个三角形； （3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023-2高一年级期中考试 数学试题 命题人：王刚 审题人：占金虎 时间：120 满分：120 一、单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，已知为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据欧拉公式结合纯虚数的定义求出，再根据复数的除法运算结合复数的几