专题2.4 平面向量的基本定理及坐标运算（7类必考点）-2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列（北师大版2019必修第二册）

专题2.4 平面向量的基本定理及坐标运算 【考点1：平面向量的基本定理】 1 【考点2：向量线性运算的坐标表示】 2 【考点3：向量模的坐标表示】 3 【考点4：向量数量积运算的坐标表示】 5 【考点5：向量平行的坐标表示】 6 【考点6：向量垂直的坐标表示】 7 【考点7：向量夹角的坐标表示】 8 【考点1：平面向量的基本定理】 【知识点：平面向量的基本定理】 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2. 其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． [方法技巧] 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　　 1．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）在中，若为边上的中线，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 2．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）在中，D为AB边的中点，记，则 （    ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西西安·统考一模）在平行四边形ABCD中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022春·福建福州·高一校考期末）已知，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 5．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）在平行四边形OACB中，E是AC的中点，F是BC边上的点，且，若，其中m，，则的值为______． 6．（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）如图,在平行四边形中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一个三等分点,且,若,则______. 【考点2：向量线性运算的坐标表示】 【知识点：向量线性运算的坐标表示】 (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则： ＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，λ＝(λx1，λy1)，||＝. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　 1．（2023·河北·高三学业考试）已知点，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·福建莆田·高二校考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河北·高三学业考试）已知向量，，则的坐标为（    ） A．（－1，1） B．（－2，3） C．（－1，4） D．（－1，0） 4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 5．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期末）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·高一课时练习）在中，顶点的坐标为，边的中点的坐标为，则的重心坐标为______． 7．（2023·高一课时练习）已知点，，，设，，，且，， (1)求； (2)求满足的实数的值． 【考点3：向量模的坐标表示】 【知识点：向量模的坐标表示】 模 ||＝ ||＝ [方法技巧] 求向量模的常用方法 (1)若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式||＝. (2)若向量，是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式||2＝2＝·，或|±|2＝(±)2＝2±2·＋2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．　　 1．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知向量．若，则实数（    ） A．2 B．-2 C． D． 2．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若为坐标原点， ，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（2022春·江苏南京·高一统考期末）在平面直角坐标系xoy中，点A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为____ 4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________. 5