每日一练 第六周-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云）

第六周 [周一] 1.(2022·漳州模拟)如图，在平面四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos B＋acos C＋ccos A＝0. (1)求B； (2)若AB＝CD＝2，△ABC的面积为2，求AD. 解　(1)由bcos B＋acos C＋ccos A＝0及正弦定理得 sin Bcos B＋sin Acos C＋cos Asin C＝0， 所以sin Bcos B＋sin(A＋C)＝0， 所以sin Bcos B＋sin B＝0， 因为0<B<π，所以sin B>0， 所以cos B＝－， 所以B＝. (2)因为△ABC的面积为2， 所以S△ABC＝acsin B＝2， 即a＝2，所以a＝2， 由余弦定理得 AC＝＝2， 所以cos∠CAB＝ ＝＝， 因为AC平分∠BAD， 所以cos∠CAB＝cos∠CAD， 所以CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠CAD， 所以4＝20＋AD2－2×2×AD×， 所以AD2－8AD＋16＝0， 所以AD＝4. [周二] 2．(2022·石家庄模拟)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1,2an＋1＝Sn＋2(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}满足bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)当n≥2时， 由2an＋1＝Sn＋2，得2an＝Sn－1＋2， 两式相减得2an＋1－2an＝an， 所以＝， 因为a1＝1，则a2＝＝， 所以＝，符合＝， 所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以an＝n－1. (2)bn＝＝(n－2)·n－1， 则Tn＝－1×0＋0×＋1×2＋…＋(n－2)·n－1， Tn＝－1×＋0×2＋1×3＋…＋(n－3)·n－1＋(n－2)·n， 两式相减得－Tn＝－1＋＋2＋…＋n－1－(n－2)·n ＝－2＋－(n－2)n， 所以Tn＝2(n－4)n＋8. [周三] 3．(2022·衡水模拟)某学校的射击比赛，开始时选手在距离目标100 m处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标150 m处射击，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标200 m处射击，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在100 m处击中目标的概率为，且各次射击都相互独立． (1)求选手甲在射击中得0分的概率； (2)设选手甲在比赛中的得分为ξ，求ξ的分布列和均值． 解　(1)记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C，三次都没有击中目标为事件D，则P(A)＝. 设选手甲在x m处击中目标的概率为P(x)， 则P(x)＝. 由x＝100时，P(A)＝，得＝， 所以k＝5 000，P(x)＝， 所以P(B)＝，P(C)＝. 由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在射击中得0分的概率为 P(D)＝P()＝××＝. (2)由题设知，ξ的可能取值为0,1,2,3. P(ξ＝3)＝， P(ξ＝2)＝×＝， P(ξ＝1)＝××＝， P(ξ＝0)＝. 则ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以均值为E(ξ)＝×1＋×2＋×3＝. [周四] 4．(2022·潍坊模拟)图1是由矩形ACC1A1、等边△ABC和平行四边形ABB1A2组成的一个平面图形，其中AB＝2，AA1＝AA2＝1，N为A1C1的中点．将其沿AC，AB翻折，使得AA1与AA2重合，连接B1C1，BN，如图2. (1)证明：在图2中，AC⊥BN，且B，C，C1，B1四点共面； (2)在图2中，若二面角C1－AC－B的大小为θ，且tan θ＝－，求直线AB与平面BCC1B1所成角的正弦值． (1)证明　取AC的中点M，连接NM，BM，如图， 因为ACC1A1为矩形，N为A1C1的中点， 所以AC⊥MN， 因为△ABC为等边三角形，所以AC⊥MB， 又MN∩MB＝M，MN，MB⊂平面BMN， 所以AC⊥平面BMN，又BN⊂平面BMN， 所以AC⊥BN， 在矩形ACC1A1中，AA1∥CC1，在平行四边形ABB1A1中，AA1∥BB1， 因此BB1∥CC1， 所以B，C，C1，B1四点共面． (2)解　由(1)知MN⊥AC，BM⊥AC， 则∠NMB为二面角C1－AC－B的平面角， θ＝∠NMB， 在平面BMN内过M作Mz⊥MB，有AC⊥Mz，以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)， N(0，cos θ，sin θ)，C1(－1，cos θ，s