大题保分练3-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云）

大题保分练3 1．(2022·邯郸模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝. (1)求B； (2)若a＝2，c＝1，________，求BD. 在①D为AC的中点；②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)在△ABC中，由正弦定理得， sin Bsin A＝sin A－sin Acos B. 因为sin A≠0， 所以sin B＝1－cos B， 所以sin B＋cos B＝2sin＝1， 即sin＝. 又B∈(0，π)，则B＋＝，所以B＝. (2)选择条件①：因为＝， 所以||2＝(||2＋2·＋||2) ＝×＝， 所以||＝，即BD＝. 选择条件②： 因为BD为∠ABC的角平分线， 所以S△ABD＋S△CBD＝S△ABC， 则c×Bdsin ＋a×Bdsin  ＝a×csin ， 即×1×Bdsin ＋×2×Bdsin  ＝×2×1×sin ， 解得BD＝. 2．(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得x＝0.038，y＝1.615 8，xiyi＝0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：样本相关系数r＝，≈1.377. 解　(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值＝＝0.06(m2)， 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 ＝＝0.39(m3)，据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2，平均一棵的材积量为0.39 m3. (2)r＝ ＝ ＝ ＝≈≈0.97. (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3， 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得＝，解得Y＝1 209. 则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3. 3.(2022·衡水中学模拟)如图所示的多面体是由三棱锥A－BDE与四棱锥D－BCFE组合而成的，其中EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是边BC的中点． (1)求证：BD⊥EG； (2)求平面DEG与平面AEFD夹角的余弦值． (1)证明　依题意，EF⊥平面AEB， AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB， 则有EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，即EB，EF，EA两两垂直， 以点E为坐标原点，射线EB，EF，EA分别为x，y，z轴非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AD∥EF∥BC， 则E(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)， F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)， 则＝(2,2,0)，＝(－2,2,2)， 因此·＝－2×2＋2×2＝0，即⊥， 所以BD⊥EG. (2)解　由(1)知，＝(2,0,0)是平面AEFD的一个法向量， 设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)， 而＝(0,2,2)，＝(2,2,0)， 则 令x＝1，得n＝(1，－1,1)， 设平面DEG与平面AEFD的夹角为θ， 则cos θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝， 所以平面DEG与平面AEFD夹角的余弦值是. 4．(2022·汕头模拟)已知各项均为正数的数列{an}中，a1＝1且满足a－a＝2an＋2an＋1，数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn＋1＝3bn. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若在bk与bk＋1之间依次插入数列{an}中的k项构成新数列{cn}：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，…，求数列{cn}中前50项的和T50. 解　(1)由a－a＝2an＋2an＋1， 得(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)， ∵an＋1＋an>0，∴an