大题保分练2-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云）

大题保分练2 1．(2022·武汉模拟)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos C＋ccos A＝1，B＝. (1)求b的值； (2)求△ABC面积的最大值． 解　(1)在△ABC中，由正弦定理知， ＝＝＝2R， ∵acos C＋ccos A＝1， ∴2R(sin Acos C＋cos Asin C)＝1， 即2Rsin B＝1， ∴b＝2Rsin B＝1. (2)在△ABC中，由余弦定理得 cos B＝＝， ∴a2＋c2＝ac＋1≥2ac(当且仅当a＝c时取“＝”)， ∴(2－)ac≤1， ∴ac≤2＋， 又∵S△ABC＝acsin B＝ac， ∴S△ABC≤， 即△ABC面积的最大值为. 2．(2022·苏州四校联考)甲、乙相约进行“某竞技体育项目”比赛．比赛采用三局二胜制，先胜二局者获胜．商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分，败者得1分，决胜局胜者得2分，败者得0分．已知每局比赛甲获胜的概率为，各局比赛相互独立． (1)求比赛结束，乙得4分的概率； (2)设比赛结束，甲得X分，求X的分布列与均值． 解　(1)若比赛结束，乙得4分，则比赛结果是甲以2∶1获胜，故前两局比赛，甲胜一场，败一场，最后一局比赛，甲胜． 则比赛结束，乙得4分的概率为 C×××＝. (2)若甲连胜两局结束比赛，甲得6分， 其概率为2＝； 若甲连败两局结束比赛，甲得2分， 其概率为2＝； 若甲以2∶1结束比赛，甲得6分， 其概率为C×××＝； 若乙以2∶1结束比赛，甲得4分， 其概率为C×××＝， 故X的分布列为 X 2 4 6 P E(X)＝2×＋4×＋6×＝. 3．(2022·襄阳模拟)已知等差数列{an}满足a1＝1，且前四项和为28，数列{bn}的前n项和Sn满足2Sn＝3bn－3λ(λ∈R)． (1)求数列{an}的通项公式，并判断{bn}是否为等比数列； (2)对于集合A，B，定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B}．若λ＝1，设数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，将集合A－B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前30项和T30. 解　(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，且前4项和为28，∴S4＝4×1＋×d＝28，解得d＝4， ∴an＝1＋4(n－1)＝4n－3. ∵2Sn＝3bn－3λ， ∴当n≥2时，2Sn－1＝3bn－1－3λ， 两式相减得2bn＝3bn－3bn－1(n≥2)， 即bn＝3bn－1(n≥2)， 又2b1＝3b1－3λ， ∴b1＝3λ. ∴当λ＝0时，数列{bn}的通项公式为bn＝0，不是等比数列； 当λ≠0时，数列{bn}是首项为3λ，公比为3的等比数列，且bn＝λ3n. (2)由(1)知bn＝3n， 则b4＝81，b5＝243， ∵a30＝4×30－3＝117， ∴b4<a30<b5， ∴T30中要去掉{bn}的项最多4项， 即3,9,27,81， 其中9,81是{an}和{bn}的公共项， ∴数列{cn}的前30项和T30由{an}的前32项和去掉9,81， 则T30＝(a1＋a2＋…＋a32)－(9＋81) ＝－90＝1 926， ∴数列{cn}的前30项和T30为1 926. 4.(2022·唐山模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，D为BC的中点，E为棱AA1上一点，AD⊥DC1. (1)求证：BC⊥平面A1AD； (2)若平面A1DE与平面C1DE的夹角为30°，求直线CE与平面C1DE所成角的正弦值． (1)证明　在直三棱柱ABC－A1B1C1中， CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC， ∴CC1⊥AD， 又AD⊥DC1，CC1∩DC1＝C1， CC1⊂平面BCC1B1，DC1⊂平面BCC1B1， ∴AD⊥平面BCC1B1， 又BC⊂平面BCC1B1，∴AD⊥BC. 由直三棱柱的性质知，AA1⊥平面ABC， BC⊂平面ABC， ∴AA1⊥BC， 又AD∩AA1＝A，AD⊂平面A1AD， AA1⊂平面A1AD， ∴BC⊥平面A1AD. (2)解　由(1)知，AD⊥BC， 又D为BC的中点，∴AB＝AC. 以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则D(0,0,0)，C(1,0,0)，B(－1,0,0)，A(0，，0)，C1(1,0,2)， 设AE＝t(0≤t≤2)，则E(0，，t)． 由(1)知，平面A1DE的一个法向量可取＝(2,0,0)， 设平面C1DE的法向量为n＝(x，y，z)， ∵＝(1,0,2)，＝(0，，t)， ∴ 令x＝2， 解得z＝－，y＝t， ∴n＝(2，t，－)， ∴|cos〈，n〉|＝ ＝＝， 解得t