大题保分练1-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云）

大题保分练1 1．(2022·广东六校联考)在①b＝；②sin B＋sin C＝2sin A；③bc＝10这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出△ABC的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sin(A＋B)＝csin ，a＝3，__________？ 解　∵3sin(A＋B)＝csin ，a＝3， ∴asin(A＋B)＝csin ， 由正弦定理知sin Asin(A＋B)＝sin Csin ， 又A＋B＋C＝π， ∴sin Asin C＝sin Csin ＝sin Csin ＝sin Ccos ， 又sin C≠0，∴sin A＝cos ， 即2sin cos ＝cos ，而cos ≠0， ∴sin ＝， 又A∈(0，π)，故＝， 即A＝. 选①：b＝，a＝3， 由正弦定理得＝， 即＝， 解得sin B＝，又b<a， ∴B＝，则C＝. ∴△ABC的面积S＝ab＝. 选②：sin B＋sin C＝2sin A， 由正弦定理得b＋c＝6， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即b2＋c2－bc＝9， 联立 得解得b＝c＝3， ∴△ABC的面积S＝bcsin A＝. 选③：bc＝10， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即b2＋c2－bc＝9， 消去c，整理得b4－19b2＋100＝0， 此时Δ＝(－19)2－4×100＝－39<0， 故方程无实数根， ∴选条件③时，三角形不存在． 2．(2022·南通调研)设Sn是等比数列{an}的前n项和，a1＝1，且S1，S3，S2成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求使Sn≤3an成立的n的最大值． 解　(1)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0， 由2S3＝S1＋S2⇒2(1＋q＋q2)＝1＋1＋q ⇒2q2＋q＝0⇒q＝－， 故an＝a1qn－1＝n－1. (2)Sn＝＝×， 则×≤3×n－1， 整理得n≤－， 当n为偶数时，n>0，不符合题意； 当n为奇数时，n＝－n， 可得n≥＝3，可得n≤3. 因此，n的最大值为3. 3．(2022·张家口模拟)已知某区A，B两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为9∶11，该区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层随机抽样的方法在A，B两校初一年级在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)在抽取的100名学生中，A，B两所学校各抽取的人数是多少？ (2)该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和做作业时长超过3小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数值； (3)另据调查，这100人中做作业时间超过3小时的人中有20人来自A中学，根据已知条件填写下面列联表，并依据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析做作业时间超过3小时是否与学校有关． 做作业时间超过3小时 做作业时间不超过3小时 合计 A校 B校 合计 附表： α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：χ2＝. 解　(1)设A，B两校所抽取的人数分别为x，y， 由已知可得解得 故A，B两校所抽取的人数分别为45,55. (2)由频率分布直方图可知，学生做作业的平均时长的估计值为 0．5×(1.25×0.1＋1.75×0.3＋2.25×0.4＋2.75×0.6＋3.25×0.3＋3.75×0.2＋4.25×0.1) ＝2.675(小时)． 由0.5×(0.1＋0.2＋0.3)＝0.3，可知有30%的学生做作业时长超过3小时． 综上，估计该区学生做作业时间的平均时长为2.675小时，该区有30%的学生做作业时长超过3小时． (3)由(2)可知，有30%×100＝30(人)做作业时间超过3小时． 故填写列联表如下(单位：人)： 做作业时间超过3小时 做作业时间不超过3小时 合计 A校 20 25 45 B校 10 45 55 合计 30 70 100 零假设为H0：做作业时间超过3小时与学校无关． 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝≈8.13>6.635＝x0.010， 所以依据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为做作业时间超过3小时与学校有关． 4.(2022·济南联考)如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面PAB为等边三角形，平面ABP⊥平面ABCD，AD＝2BC＝2，点M在