压轴题突破练3-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云）

压轴题突破练3 1．(2022·泰安模拟)“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”．在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立．在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立．已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第四名的概率为；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为. (1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动(两项活动均只参加一局)的总得分为X，求X的分布列与均值； (2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错，则答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分．某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到n(n≥10)阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为，记乙进到n阶的概率为Pn，求P12. 解　(1)甲参加“四人赛”时，每局比赛获得第三名的概率为1－＝， 依题意，X所有可能的取值为5,4,3,2， P(X＝5)＝×＝， P(X＝4)＝×＋×＋×＝， P(X＝3)＝×＋×＋×＝， P(X＝2)＝×＝， 所以X的分布列为 X 5 4 3 2 P 所以E(X)＝5×＋4×＋3×＋2×＝. (2)依题意，P1＝，P2＝， “进到n＋1阶”的情况包括：第一种情况是进到n阶后下一轮未获得5个积分，其概率为Pn；第二种情况是进到n－1阶后下一轮获得5个积分，其概率为Pn－1，两种情况互斥， 所以Pn＋1＝Pn＋Pn－1(n≥2，n∈N*)， 则Pn＋1－Pn＝Pn＋Pn－1－Pn ＝－(Pn－Pn－1)， 所以＝－(n≥2，n∈N*)， 又P2－P1＝， 所以数列{Pn＋1－Pn}是首项为，公比为－的等比数列， 所以Pn＋1－Pn＝×n－1， 故P12＝P1＋(P2－P1)＋…＋(P11－P10)＋(P12－P11) ＝＋＋×＋…＋×10 ＝＋× ＝＋， 即P12＝＋. 2．(2022·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点)． (1)求抛物线E的方程； (2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值． 解　(1)由题意可得 解得p＝2. 故抛物线E的方程为y2＝4x. (2)由题意知，直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，F(1,0) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 由 消去x得y2－4ty－4＝0. 所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4. 由AC垂直于l可知，直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)， 由 消去x得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0. 所以y1＋y3＝－，y1y3＝. 所以|AC|＝ ＝ ＝ ＝ ＝·|ty1＋2| ＝·(ty1＋2)． 同理可得|BD|＝·(ty2＋2)，所以 |AC|＋|BD|＝·[t(y1＋y2)＋4] ＝(t2＋1)＝8， 令f(x)＝，x>0， 则f′(x)＝，x>0， 所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以当x＝2时，f(x)取得最小值， 即当t＝±时， |AC|＋|BD|取得最小值，最小值为12. 学科网（北京）股份有限公司 $