压轴题突破练2-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云）

压轴题突破练2 1．(2022·菏泽模拟)已知函数f(x)＝ex－1－ax. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)－x2≥对于任意x≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)f′(x)＝ex－1－a， ①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； ②当a>0时， 令f′(x)＝ex－1－a＝0，x＝1＋ln a， 当x∈(－∞，1＋ln a)时， f′(x)<0，f(x)在(－∞，1＋ln a)上单调递减； 当x∈(1＋ln a，＋∞)时， f′(x)>0，f(x)在(1＋ln a，＋∞)上单调递增． (2)由f(x)－x2≥， 得ex－1≥x2＋ax＋＝2， 对于任意x≥0恒成立， 因此 记h(x)＝ 由h′(x)＝得x＝1＋2ln 2， 当x∈[0,1＋2ln 2]时，h′(x)<0，h(x)单调递减， 当x∈[1＋2ln 2，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)min＝1－2ln 2， 因此a≤2－4ln 2； 记t(x)＝ 易知t(x)单调递减， 所以t(x)max＝t(0)＝ 所以a≥ 综上，实数a的取值范围为 2．(2022·石家庄模拟)如图，已知双曲线C：－y2＝1，过点P(1,1)向双曲线C作两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<0，x2>0. (1)证明：直线PA的方程为－y1y＝1. (2)设F为双曲线C的左焦点，证明：∠AFP＋∠BFP＝π. 证明　(1)显然直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y－1＝k(x－1)， 联立 消去y得(3k2－1)x2－6k(k－1)x＋3(k－1)2＋3＝0， 则Δ＝36k2(k－1)2－4(3k2－1)×3(k2－2k＋2)＝0， 化简得k2＋k－1＝0. 因为方程有两个相等实根，故切点A的横坐标 x1＝－＝， 得y1＝，则＝3k， 故直线PA的方程为y＝(x－x1)＋y1， 则yy1＝－＋y，即－y1y＝1. (2)由(1)同理可得lPB：－yy2＝1， 又lPA与lPB均过点P(1,1)， 所以－y1＝1，－y2＝1. 故lAB：－y＝1，F(－2,0)， ·＝(3,1)·(x1＋2，y1)＝3x1＋6＋y1， ·＝(3,1)·(x2＋2，y2)＝3x2＋6＋y2， 又因为x1<0，x2>0， 所以x1≤－，x2≥， 则cos〈，〉＝ ＝＝－， cos〈，〉＝ ＝＝， 故cos〈，〉＝－cos〈，〉， 故∠AFP＋∠BFP＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $