压轴题突破练1-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云）

压轴题突破练1 1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x. (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． (1)解　由题意得c＝2.① 因为双曲线的渐近线方程为 y＝±x＝±x， 所以＝.② 又c2＝a2＋b2，③ 所以联立①②③得a＝1，b＝， 所以双曲线C的方程为x2－＝1. (2)证明　由题意知直线PQ的斜率存在且不为0， 设直线PQ的方程为y＝kx＋t(k≠0)， 将直线PQ的方程代入C的方程， 整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝－>0， 所以3－k2<0， 所以x1－x2＝＝. 设点M的坐标为(xM，yM)， 则 两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2)， 又y1－y2＝(kx1＋t)－(kx2＋t)＝k(x1－x2)， 所以2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)， 解得xM＝； 两式相加，得2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2)， 又y1＋y2＝(kx1＋t)＋(kx2＋t) ＝k(x1＋x2)＋2t， 所以2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2t， 解得yM＝＝xM. 因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率． 若选择①②作为条件证明③成立： 因为PQ∥AB， 所以直线AB的方程为y＝k(x－2)， 设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 不妨令点A在直线y＝x上， 则由 解得xA＝，yA＝， 同理可得xB＝，yB＝－， 所以xA＋xB＝，yA＋yB＝. 点M的坐标满足 得xM＝＝， yM＝＝， 故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|，即③成立． 若选择①③作为条件证明②成立： 当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，此时M不在直线y＝x上，矛盾； 当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0， 设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)， A(xA，yA)，B(xB，yB)， 不妨令点A在直线y＝x上， 则由 解得xA＝，yA＝， 同理可得xB＝，yB＝－. 因为M在AB上，且|MA|＝|MB|， 所以xM＝＝， yM＝＝， 又点M在直线y＝x上， 所以＝·， 解得k＝m，因此PQ∥AB，即②成立． 若选择②③作为条件证明①成立： 因为PQ∥AB， 所以直线AB的方程为y＝k(x－2)， 设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 不妨令点A在直线y＝x上， 则由 解得xA＝，yA＝， 同理可得xB＝，yB＝－. 设AB的中点为C(xC，yC)， 则xC＝＝， yC＝＝. 因为|MA|＝|MB|， 所以M在AB的垂直平分线上， 即点M在直线y－yC＝－(x－xC)， 即y－＝－上， 与y＝x联立，得xM＝＝xC， yM＝＝yC， 即点M恰为AB的中点， 故点M在AB上，即①成立． 2．(2022·无锡模拟)已知函数f(x)＝ex(1＋mln x)，其中m＞0，f′(x)为f(x)的导函数，设h(x)＝，且h(x)≥恒成立． (1)求m的取值范围； (2)设函数f(x)的零点为x0，函数f′(x)的极小值点为x1，求证：x0＞x1. (1)解　由题设知f′(x)＝ex， 则h(x)＝1＋mln x＋(x>0)， 所以h′(x)＝－＝， 当x＞1时，h′(x)＞0， 则h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增； 当0＜x＜1时，h′(x)＜0， 则h(x)在区间(0,1)上单调递减， 所以h(x)min＝h(1)＝1＋m≥， 解得m≥， 所以m的取值范围为. (2)证明　令g(x)＝f′(x)， 则g′(x)＝ex ＝ex， 令t(x)＝1＋mln x＋－(x>0)， 则t′(x)＝－＋＝＝>0恒成立， 所以t(x)在(0，＋∞)上单调递增. 又t(1)＝1＋m>0，t＝1－mln 2≤1－ln 2<0，所以存在x2∈，使得t(x2)＝0， 当x∈(0，x2)时，t′(x)＜0， 即g′(x)＜0，则f′(x)在(0，x2)上单调递减； 当x∈(x2，＋∞)时，t′(x)＞0， 即g′(x)＞0，则f′(x)在(x2，＋∞)上单调递增， 所以f′(x)在x＝x2处取得极小值， 即x1＝x2，所以t(x1)＝0， 即1＋mln x1＋－＝0，x1∈， 所以1＋mln x1＝－＝<0， 令s(x)＝1＋mln x，则s(x)在(0，＋∞)上单调递增，且s(x1)＜0，