小题满分练7-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云）

小题满分练7 一、单项选择题 1．(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则等于(　　) A．－1＋i B．－1－i C．－＋i D．－－i 答案　C 解析　＝ ＝＝－＋i，故选C. 2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，则集合A*B的所有元素之和为(　　) A．16 B．18 C．14 D．8 答案　A 解析　由题设知A*B＝{1,2,3,4,6}， ∴所有元素之和为1＋2＋3＋4＋6＝16. 3．(2022·卓越高中联盟联考)若“∃x∈R，sin x－cos x＝a”为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．[－2,2] B．(－2,2) C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案　D 解析　因为“∃x∈R，sin x－cos x＝a”为假命题， 则“∀x∈R，sin x－cos x≠a”为真命题，因为f(x)＝sin x－cos x＝2sin∈[－2,2]， 所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 4．(2022·湖北七市(州)联考)某学校高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1 600,1 100,800，现用比例分配的分层随机抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本测量学生的身高．如果在这个样本中，有高一年级学生32人，且测得高一年级、高二年级、高三年级学生的平均身高分别为160 cm,165 cm,170 cm.则下列说法正确的是(　　) A．高三年级抽取的学生人数为32 B．高二年级每个学生被抽取到的概率为 C．所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大 D．所有学生的平均身高估计要小于165 cm 答案　D 解析　根据比例分配的分层随机抽样的定义，高三抽取的学生人数为×32＝16，A错误； 分层随机抽样中每个个体被抽取的概率相等，均为＝，B错误，C错误； 平均身高为×160＋×165＋×170≈163.9(cm)，D正确． 5．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．则(　　) A．b1<b5 B．b3<b8 C．b6<b2 D．b4<b7 答案　D 解析　方法一　当n取奇数时， 由已知b1＝1＋，b3＝1＋， 因为>，所以b1>b3， 同理可得b3>b5，b5>b7，…， 于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确； 当n取偶数时，由已知b2＝1＋， b4＝1＋， 因为>，所以b2<b4， 同理可得b4<b6，b6<b8，…， 于是可得b2<b4<b6<b8<…，故C不正确； 因为>，所以b1>b2， 同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8， 又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确；故选D. 方法二　(特殊值法) 不妨取αk＝1(k＝1,2，…)，则b1＝1＋＝2， b2＝1＋＝1＋＝1＋＝， b3＝1＋＝1＋＝1＋＝， 所以b4＝1＋＝1＋＝， b5＝1＋＝1＋＝， b6＝1＋＝1＋＝， b7＝1＋＝1＋＝， b8＝1＋＝1＋＝.逐一判断选项可知选D. 6．(2022·咸阳模拟)设a>0，b>0,2是4a与4b的等比中项，则的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵2是4a与4b的等比中项， ∴4a·4b＝22，∴a＋b＝1. ∵＝， ＋＝(a＋b) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当a＝，b＝时取等号， ∴≤， ∴的最大值为. 7．(2022·湖北八市联考)各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制．通常我们用函数f(x)＝表示在x进制下表达M(M>1)个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是(　　) A．二进制 B．三进制 C．八进制 D．十进制 答案　B 解析　因为f(x)＝＝ ＝·， f′(x)＝·， 令f′(x)>0，易知f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，而f(2)＝f(4)，故可得f(3)>f(2)>f(8)>f(10)．则效率最高的是三进制． 8.(2022·长沙十六校联考)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若＝m＋(m为常数)，则CD的长度是(　　) A. B．0或 C. D．0或 答案　D 解析　∵A，D，P三点共线， ∴可设＝λ(λ>0)， ∵＝m＋， ∴λ＝m＋， 即＝＋， 当m≠0且m≠时，B，D，C三点共线， ∴＋＝1，即λ＝， ∵AP＝