专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤

第2讲　三角恒等变换与解三角形 [考情分析]　1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度． 考点一　三角恒等变换 核心提炼 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 例1　(1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 答案　C 解析　由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1. (2)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　方法一　因为tan 2α＝＝， 且tan 2α＝， 所以＝，解得sin α＝. 因为α∈， 所以cos α＝，tan α＝＝. 方法二　因为tan 2α＝＝ ＝＝， 且tan 2α＝， 所以＝，解得sin α＝. 因为α∈， 所以cos α＝，tan α＝＝. 规律方法　三角恒等变换的“4大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂； (4)弦、切互化：一般是切化弦． 跟踪演练1　(1)(多选)(2022·张家口模拟)已知sin θcos θ＋cos2θ＝cos θ＋，θ∈，则θ等于(　　) A. B. C. D. 答案　BD 解析　sin θcos θ＋cos2θ ＝sin 2θ＋× ＝cos＋＝cos θ＋， 故cos＝cos θ， 所以2θ－＝θ＋2kπ或2θ－＝－θ＋2kπ(k∈Z)， 故θ＝＋2kπ或θ＝＋(k∈Z)． 又θ∈，所以θ＝或. (2)已知函数f(x)＝sin x－2cos x，设当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos θ＝________. 答案　－ 解析　f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝， 则f(θ)＝sin(θ－φ)＝， 因此θ－φ＝＋2kπ，k∈Z， 则cos θ＝cos＝－sin φ＝－. 考点二　正弦定理、余弦定理 核心提炼 1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 例2　(1)(2022·济南模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　) A．3 B. C. D. 答案　D 解析　因为bsin 2A＝asin B， 所以2bsin Acos A＝asin B， 利用正弦定理可得2abcos A＝ab， 所以cos A＝，又c＝2b， 所以cos A＝＝＝， 解得＝. (2)(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)． ①证明：2a2＝b2＋c2； ②若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长． ①证明　方法一　由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)， 可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B ＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A， 结合正弦定理＝＝， 可得accos B