专题一 微重点5 不等式的综合问题-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏

微重点5　不等式的综合问题 不等式是高考的必考内容，作为解题的工具，常与函数、数列、平面向量、解析几何等相结合，涉及最值、范围、函数的性质等等，旨在考查学生的思维能力和数学素养． 考点一　不等式的性质及应用 例1　(多选)(2022·江苏七市调研)若a＞b＞0＞c，则(　　) A.> B.> C．ac>bc D．a－c>2 答案　ABD 解析　－＝， ∵a>b>0>c，∴ab>0，b－a<0，c<0， ∴>0， ∴>，故A正确； －＝＝， ∵a>b>0>c， ∴a－c>0，a>0，b－a<0，c<0， ∴>0， ∴>，故B正确； 设y＝xc，当c<0时，y＝xc在(0，＋∞)上单调递减， ∵a>b，∴ac<bc，故C错误； ∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0， ∴a－c>b－c＝b＋(－c)≥2， 当且仅当b＝－c时取等号， ∴a－c>2，故D正确． 规律方法　判断关于不等式命题真假的常用方法 (1)作差法、作商法． (2)利用不等式的性质推理判断． (3)利用函数的单调性． (4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题． 跟踪演练1　(2022·临川模拟)若实数a，b满足a6<a5b，则下列选项中一定成立的为(　　) A．a<b B．a3<b3 C．ea－b>1 D．ln <0 答案　D 解析　因为a6<a5b， 所以a6－a5b＝a5(a－b)<0， 显然a≠0，所以a(a－b)<0， 所以或 即0<a<b或b<a<0； 若0<a<b，则a<b，a3<b3，ea－b<e0＝1， ln <ln 1＝0； 若b<a<0，则a>b，a3>b3，ea－b>e0＝1， ln <ln 1＝0； 即一定成立的是选项D. 考点二　利用基本不等式求最值 例2　(1)(2022·滁州质检)若实数a，b满足2a＋b＝3，则＋的最小值为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 答案　A 解析　令2a－1＝m，b－1＝n，则m>0，n>0， ∴m＋n＝2a＋b－2＝1， ∵＋＝＋＝2＋＋ ＝2＋(m＋n) ＝4＋＋≥6. 当且仅当m＝n，即a＝，b＝时取等号． (2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 答案　BC 解析　因为ab≤2≤(a，b∈R)， 由x2＋y2－xy＝1可变形为 (x＋y)2－1＝3xy≤32， 解得－2≤x＋y≤2， 当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2， 当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2， 所以A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1可变形为 (x2＋y2)－1＝xy≤， 解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确； 因为x2＋y2－xy＝1可变形为 2＋y2＝1， 设x－＝cos θ，y＝sin θ， 所以x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ， 因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋ ＝＋sin∈， 所以当x＝，y＝－时满足等式， 但是x2＋y2≥1不成立，所以D错误． 易错提醒　利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件 (1)一正二定三相等，三者缺一不可； (2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到． 跟踪演练2　(1)(多选)(2022·辽阳模拟)已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则(　　) A．2a－b> B．log2a＋log2b≤1 C.＋≥2 D.＋≥ 答案　BD 解析　因为0<a<2， a－b＝a－(4－2a)＝3a－4∈(－4,2)， 所以<2a－b<4，故A错误； 因为4＝2a＋b≥2>0， 即0<≤，即0<ab≤2， log2a＋log2b＝log2(ab)≤1，故B正确； 因为(＋)2＝2a＋b＋2≤8， 所以＋≤2，故C错误； ＋＝＋ ＝＋ ≥＋2＝， 当且仅当a＝2b＝时，等号成立，故D正确． (2)(2022·潍坊模拟)已知正实数a，b满足a2＋2ab＋4b2＝6，则a＋2b的最大值为(　　) A．2 B．2 C. D．2 答案　B 解析　(a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2 ＝6－2ab＋4ab＝6＋2ab， 又∵a2＋2ab＋4b2＝6， ∴6－2ab＝a2＋4b2≥4ab， ∴ab≤1，当且仅当a＝2b即a＝，b＝时等号成立． ∴(a＋2b)2＝6＋2ab≤6＋2＝8， ∴a＋2b≤2， 故a＋2b的最大值为2. 考点三　不等式恒(能)成立问题 例3　已知正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，若对任意满足条件的x，y，都有(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围为______