专题一 微重点3 导数中的函数构造问题-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝

微重点3　导数中的函数构造问题 导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 考点一　导数型构造函数 考向1　利用f(x)与x构造 例1　(2022·苏州质检)已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log2·f ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．c>a>b 答案　B 解析　因为f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝x·f(x)， 则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)， 当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立， 所以g(x)在x∈(－∞，0]上单调递减， 又g(x)在R上是连续函数，且是奇函数， 所以g(x)在R上单调递减， 则a＝g(20.6)，b＝g(ln 2)，c＝g， 因为20.6>1,0<ln 2<1，log2＝－3<0， 所以log2<0<ln 2<1<20.6， 所以c>b>a. 规律方法　(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； (2)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝ . 跟踪演练1　已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f′(x)－－3>0，且f(1)＝0，则不等式f(ex)－3xex>0的解集为(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(0，＋∞) D．(e，＋∞) 答案　C 解析　设g(x)＝－3ln x， 则g′(x)＝－ ＝. 因为f′(x)－－3>0，x>0， 所以xf′(x)－f(x)－3x>0， 所以g′(x)>0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递增． 不等式f(ex)－3xex>0可转化为－3ln ex>0， 又g(ex)＝－3ln ex， 且g(1)＝－3ln 1＝0， 即g(ex)>g(1)，所以ex>1，解得x>0. 考向2　利用f(x)与ex构造 例2　(2022·枣庄质检)已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)<f′(x)恒成立，其中e是自然对数的底数，则(　　) A．f(2 022)<ef(2 023) B．ef(2 022)<f(2 023) C．ef(2 022)＝f(2 023) D．ef(2 022)>f(2 023) 答案　B 解析　设函数g(x)＝， 可得g′(x)＝， 由f(x)<f′(x)，可得f′(x)－f(x)>0， 所以g′(x)>0， 所以g(x)单调递增， 则< ， 即ef(2 022)<f(2 023)． 规律方法　(1)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)； (2)出现f′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝. 跟踪演练2　(2022·成都模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________． 答案　(3，＋∞) 解析　设F(x)＝f(x)·ex， 则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex ＝ex[f(x)＋f′(x)]>0， ∴F(x)在R上单调递增． 又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3. ∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3， 即F(x)>F(3)， ∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)． 考向3　利用f(x)与sin x，cos x构造 例3　偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f′(x)，若对任意的x∈，有f′(x)·cos x<f(x)sin x成立，则关于x的不等式2f(x)<的解集为__________________． 答案　∪ 解析　令g(x)＝f(x)cos x，x∈， ∴g(－x)＝f(－x)cos(－x)＝f(x)cos x＝g(x)， ∴g(x)为偶函数， 又g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x， ∴当x∈时，g′(x)<0， 即g(x)在上单调递减， 又g(x)为偶函数， ∴g(x)在上单调递增， 不等式2f(x)<可化为f(x)cos x<f cos ， 即g(x)<g，则 解得－<x<－或<x<. 规律方法　函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 (1)F(x)＝f(x)sin x， F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； (2)F(x)＝， F′(x)＝； (3)F(x)＝f(x)cos x， F′(x)＝f′(x)cos x－f