专题一 微重点2 函数的嵌套与旋转、对称问题-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀

微重点2　函数的嵌套与旋转、对称问题 函数的嵌套与旋转、对称问题在高考中经常出现，主要与函数的性质、函数的零点综合，考查判断函数的零点、方程的根的个数、求参数问题，以及求函数的函数值、值域等，难度较大，主要以选择、填空的形式出现． 考点一　嵌套函数中的零点问题 考向1　函数的零点个数问题 例1　已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(f(x))－的零点个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　D 解析　令u＝f(x)，令g(x)＝0， 则f(u)－＝0， 当u≥0时，则f(u)＝ln(u＋1)， 所以ln(u＋1)＝，所以u＝－1. 当u<0时，f(u)＝－ueu， 则f′(u)＝－(u＋1)eu， 当u<－1时，f′(u)>0； 当－1<u<0时，f′(u)<0. 此时，函数y＝f(u)在u＝－1处取得极大值，且极大值为f(－1)＝<. 所以当u<0时，f(u)<， 则方程f(u)－＝0在u<0时无解． 再考虑方程f(x)＝－1的根的个数， 作出函数u＝f(x)与u＝－1的图象如图所示， 由于－1>>， 所以直线u＝－1与函数u＝f(x)的图象只有一个交点，因此，函数g(x)只有一个零点． 考向2　求参数的取值范围 例2　(2022·安康质检)已知函数f(x)＝若函数y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1有6个零点，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设t＝f(x)，则y＝g(t)＝t2＋mt＋1，作出函数f(x)的大致图象，如图所示， 则函数y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1有6个零点等价于g(t)＝0在[－3,1)上有两个不同的实数根， 则 解得2<m≤. 规律方法　解决嵌套函数问题，一般方法是令内层函数为t，构造新的函数或方程，转化成两个函数的交点问题，通过观察分析函数图象求解． 跟踪演练1　(1)(2022·天津质检)已知定义域为(0，＋∞)的单调递增函数f(x)满足：∀x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－ln x)＝1，则方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　A 解析　因为定义域为(0，＋∞)的单调递增函数f(x)满足∀x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－ln x)＝1， 则存在唯一正实数t使得f(t)＝1， 且f(x)－ln x＝t，即f(x)＝t＋ln x， 于是得f(t)＝t＋ln t＝1， 而函数y＝t＋ln t在(0，＋∞)上单调递增， 且当t＝1时，t＋ln t＝1， 因此t＝1，f(x)＝1＋ln x， 方程f(x)＝－x2＋4x－2＝1＋ln x， 即ln x＝－x2＋4x－3， 于是得方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数是函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象公共点个数， 在同一平面直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象，如图所示， 观察图象知，函数y＝ln x与y＝－x2＋4x－3的图象有3个公共点， 所以方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的个数为3. (2)(2022·江西重点中学联考)函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－af(x)＋a－1＝0恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　当x>0时，f(x)＝， f′(x)＝， 所以当x∈(0,1)时，f(x)单调递增， 当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减， 所以当x>0时， f(x)＝在x＝1处取最大值为. 作出函数f(x)的图象如图所示， 因为[f(x)]2－af(x)＋a－1＝0， 即[f(x)－a＋1][f(x)－1]＝0， 解得f(x)＝1或f(x)＝a－1， 当f(x)＝1时，观察图象易知此时只有一个交点，即有一个根， 要使关于x的方程[f(x)]2－af(x)＋a－1＝0恰有四个不同的实数根， 则需要y＝a－1与f(x)图象有三个不同交点， 只需要0<a－1<，即1<a<. 考点二　函数的旋转 例3　(多选)双曲线－y2＝1绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图象，关于此函数f(x)有如下四个命题，其中真命题是(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)的图象过点或 C．f(x)的值域是∪ D．函数y＝f(x)－x有两个零点 答案　AB 解析　双曲线－y2＝1关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f(x)的图象关于原点对称，即f(x)为奇函数，故A正确； 由双曲线的顶点为(±，0)，渐近线方程为y＝±x，可得f(x)的图象的渐近线为x＝0和y＝±x，由图象关于直线y＝x对称，可得f(x)的图象过点或，故B正确；由对称性可得f(x)的图象按逆时针旋转60°位于一、三象限，按顺时针旋转60°位于二、四象限； f(x)的图