专题一 培优点4 极值点偏移问题-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙

培优点4　极值点偏移问题 极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色． 考点一　对称化构造函数 例1　(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝－ln x＋x－a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1. (1)解　由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 由f′(x)＝－＋1 ＝＝， 可得函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(1)＝e＋1－a.又f(x)≥0， 所以e＋1－a≥0，解得a≤e＋1， 所以a的取值范围为(－∞，e＋1]． (2)证明　方法一　不妨设x1<x2， 则由(1)知0<x1<1<x2，>1. 令F(x)＝f(x)－f ， 则F′(x)＝＋ ＝ 令g(x)＝ex＋x－－1(x>0)， 则g′(x)＝ex＋1－ ＝ex＋1＋(x>0)， 所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0， 所以当x∈(0,1)时，g(x)<g(1)＝0， 所以当x∈(0,1)时，F′(x)>0， 所以F(x)在(0,1)上单调递增，所以F(x)<F(1)， 即在(0,1)上f(x)－f <F(1)＝0. 又f(x1)＝f(x2)＝0，所以f(x2)－f <0， 即f(x2)<f . 由(1)可知，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以x2<，即x1x2<1. 方法二　(同构法构造函数化解等式) 不妨设x1<x2， 则由(1)知0<x1<1<x2，0<<1. 由f(x1)＝f(x2)＝0， 得－ln x1＋x1＝－ln x2＋x2， 即＋x1－ln x1＝＋x2－ln x2. 因为函数y＝ex＋x在R上单调递增， 所以x1－ln x1＝x2－ln x2成立． 构造函数h(x)＝x－ln x(x>0)， g(x)＝h(x)－h＝x－－2ln x(x>0)， 则g′(x)＝1＋－＝≥0(x>0)， 所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以当x>1时，g(x)>g(1)＝0， 即当x>1时，h(x)>h， 所以h(x1)＝h(x2)>h. 又h′(x)＝1－＝(x>0)， 所以h(x)在(0,1)上单调递减， 所以0<x1<<1，即x1x2<1. 规律方法　对称化构造法构造辅助函数：对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2>x型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成ln x1＋ln x2>2ln x0，再把ln x1，ln x2看成两变量即可． 跟踪演练1　已知函数f(x)＝＋ln x. (1)求f(x)的极值和单调区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－a(a>2)的两个零点为x1，x2，证明：x1＋x2>4. (1)解　f′(x)＝－＝(x>0)， 令f′(x)>0得x>2， 令f′(x)<0得0<x<2. 所以f(x)在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增， 所以当x＝2时，f(x)取得极小值1＋ln 2，无极大值，f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)， 单调递减区间为(0,2)． (2)证明　由题意知，g(x1)＝g(x2)． 不妨设x1<x2， 由(1)知，g(x)在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增；所以0<x1<2<x2. 所以证明不等式x1＋x2>4等价于x2>4－x1， 又因为4－x1>2，x2>2， g(x)在(2，＋∞)上单调递增， 因此证明不等式等价于证明g(x2)>g(4－x1)，即证明g(x1)>g(4－x1)， 即＋ln x1－a>＋ln(4－x1)－a(0<x1<2)， 即＋ln x1－－ln(4－x1)>0(0<x1<2)恒成立， 令h(x)＝＋ln x－－ln(4－x)(0<x<2)， 则h′(x)＝－＋－＋ ＝<0， 所以h(x)在(0,2)上单调递减， 所以h(x)>h(2)＝1＋ln 2－1－ln 2＝0， 即h(x)＝＋ln x－－ln(4－x)>0(0<x<2)恒成立， 因此不等式＋ln x1－a>＋ln(4－x1)－a(0<x1<2)恒成立，即x1＋x2>4. 考点二　比值代换 例2　(2022·六安模拟)已知函数f(x)＝xln x－ax2＋x(a∈R)．若f(x)有两个零点x1，x2，且x2>2x1，证明：x1x2>. 证明　若f(x)有两个零点x1，x2， 则x1ln x1－ax＋x1＝0， x2ln x2－ax＋x2＝0