专题一 培优点3 隐零点问题-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉

培优点3　隐零点问题 导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，既能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题． 考点一　不含参函数的隐零点问题 例1　(2022·济宁质检)已知函数f(x)＝acos x＋bex(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x. (1)求实数a，b的值； (2)当x∈时，f(x)≤c(c∈Z)恒成立，求c的最小值． 解　(1)因为f′(x)＝－asin x＋bex， 所以 解得 (2)由(1)知f(x)＝cos x－ex，x∈， 所以f′(x)＝－sin x－ex， 设g(x)＝－sin x－ex g′(x)＝－cos x－ex＝－(cos x＋ex)． 当x∈时， cos x≥0，ex>0，所以g′(x)<0； 当x∈时，－1≤cos x≤1，ex>1， 所以g′(x)<0. 所以当x∈时，g′(x)<0， g(x)单调递减，即f′(x)单调递减． 因为f′(0)＝－1<0， f′＝－ 因为>e>2， 所以 所以f′>0， 所以∃x0∈， 使得f′(x0)＝－sin x0－ 即＝－sin x0. 所以当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 所以f(x)max＝f(x0)＝cos x0－ ＝cos x0＋sin x0＝sin. 因为x0∈， 所以x0＋∈， 所以sin∈， 所以f(x0)∈(0,1)． 由题意知，c≥f(x0)， 所以整数c的最小值为1. 规律方法　已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，利用零点存在定理，判断零点存在，设方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，②注意确定x0的合适范围． 跟踪演练1　(2022·郑州模拟)已知函数f(x)＝e·ex－＋1，g(x)＝＋2. (1)求函数g(x)的极值； (2)当x>0时，证明：f(x)≥g(x)． (1)解　g(x)＝＋2的定义域为(0，＋∞)， g′(x)＝， 则当x∈(0，e)时，g′(x)＝>0， g(x)在(0，e)上单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＝<0， g(x)在(e，＋∞)上单调递减， 故函数g(x)的极大值为g(e)＝＋2，无极小值． (2)证明　f(x)≥g(x)等价于证明 xex＋1－2≥ln x＋x(x>0)， 即xex＋1－ln x－x－2≥0. 令h(x)＝xex＋1－ln x－x－2(x>0)， h′(x)＝(x＋1)ex＋1－ ＝(x＋1)， 令φ(x)＝ex＋1－， 则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增， 而φ＝－10<e2－10<0， φ(1)＝e2－1>0， 故φ(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点x0， 且x0∈， 当x∈(0，x0)时，φ(x)<0，h′(x)<0， h(x)在x∈(0，x0)上单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，φ(x)>0，h′(x)>0， h(x)在x∈(x0，＋∞)上单调递增， 故h(x)min＝h(x0)＝－ln x0－x0－2， 又因为φ(x0)＝0，即＝， 所以h(x0)＝－ln x0－x0－1 ＝(x0＋1)－x0－1＝0， 从而h(x)≥h(x0)＝0，即f(x)≥g(x)． 考点二　含参函数的隐零点问题 例2　已知函数f(x)＝ln x－kx(k∈R)，g(x)＝x(ex－2)，若g(x)－f(x)≥1恒成立，求k的取值范围． 解　依题意，x(ex－2)－(ln x－kx)≥1恒成立，且x>0，∴k≥－ex＋2恒成立， 令φ(x)＝－ex＋2， 则φ′(x)＝－ex＝， 令μ(x)＝－ln x－x2ex(x>0)， 则μ′(x)＝－－(2xex＋x2ex) ＝－－xex(2＋x)<0， ∴μ(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又μ＝1－>0，μ(1)＝－e<0， 由函数零点存在定理知，存在唯一零点x0∈，使μ(x0)＝0，即－ln x0＝x 两边取对数可得ln(－ln x0)＝2ln x0＋x0， 即ln(－ln x0)＋(－ln x0)＝x0＋ln x0， 由函数y＝x＋ln x为增函数， 可得x0＝－ln x0， 又当0<x<x0时，μ(x)>0，φ′(x)>0； 当x>x0时，μ(x)<0，φ′(x)<0， ∴φ(x)在(0，x0)上单调递增， 在(x0，＋∞)上单调递减， ∴φ(x)≤φ(x0)＝－ ＝－＋2＝1， ∴k≥φ(x0)＝1， 即k的取值范围为k≥1. 规律方法　已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的