专题一 培优点2 对数平均不等式、切线不等式-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀

培优点2　对数平均不等式、切线不等式 在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以转变成对数平均不等式、切线不等式进行求解，起到事半功倍的效果． 考点一　对数平均不等式 例1　若a＞0，b＞0，a≠b，求证：＜＜. 证明　不妨设a＞b＞0， ①要证＜成立， 即证＜，即证ln ＜， 即证ln ＜－，令＝t(t＞1)， 则需证明2ln t＜t－(t＞1)， 构造函数f(t)＝2ln t－t＋(t＞1)， 则f′(t)＝－1－＝－＜0， 所以f(t)在(1，＋∞)上单调递减，又f(1)＝0， 所以f(t)<0，即2ln t＜t－，原不等式得证． ②要证＜，只需证2·＜ln ， 即证2·＜ln ，令t＝(t＞1)， 即证2·＜ln t．即证2－<ln t， 构造函数φ(t)＝2－－ln t(t>1)， φ′(t)＝－＝<0， ∴φ(t)在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(t)<φ(1)＝0，即2－<ln t， ∴原不等式得证． 综上，＜＜. 规律方法　该类问题的特征是双变量，将双变量问题转变为单变量问题处理，即将看成一个新对象(整体)，从而进行降维打击． 跟踪演练1　已知函数f(x)＝－x＋aln x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)存在两个极值点x1，x2， 证明：＜a－2. (1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－－1＋＝－. ①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②若a＞2，令f′(x)＝0，得 x＝或x＝. 当x∈∪时，f′(x)＜0； 当x∈时，f′(x)＞0. ∴f(x)在，上单调递减， 在上单调递增． (2)证明　由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x2>x1>0， 则x2＞1. 由于 ＝－－1＋ ＝－2＋， 由对数平均不等式知 >＝1， 又x2>x1>0， ∴x1－x2<0，ln x1－ln x2<0， ∴0<<1， ∴＝－2＋<－2＋a， 即证原不等式成立． 考点二　以泰勒公式为背景的切线不等式 泰勒公式：将函数展开为一个多项式与一个余项的和． f(x)＝f(x0)＋f′(x0)(x－x0)＋(x－x0)2＋…＋(x－x0)n＋Rn(x)， 其中余项Rn(x)＝(x－x0)n＋1(ξ在x0与x之间)， 当x0＝0时为麦克劳林公式． 其中ex与ln(1＋x)的麦克劳林公式为 ex＝1＋x＋x2＋x3＋o(x3)， ln(1＋x)＝x－x2＋x3＋o(x3)， 从中截取片段就构成了常见的不等式： ex≥1＋x或ex≥1＋x＋(x≥0)， ln(1＋x)≤x(x≥0)或ln x≤x－1(x>0)， ln(1＋x)≥x－(x≥0)， 例2　设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2. (1)求a，b； (2)证明：f(x)>1. (1)解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1. 由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e. 故a＝1，b＝2. (2)证明　方法一　由(1)知， f(x)＝exln x＋·ex－1， 从而f(x)>1等价于xln x>xe－x－. 设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x. 所以当x∈，g′(x)<0； 当x∈时，g′(x)>0. 故g(x)在上单调递减，在上单调递增， 从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－. 设函数h(x)＝xe－x－， 则h′(x)＝e－x(1－x)． 所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0. 故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－. 综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1. 方法二　f(x)＝exln x＋ex－1＝ex. 当x＞0时，ex＞1＋x，所以ex－1≥x， 即≥x，ex≥ex，当x＝1时等号成立， 即e－ln x≥e(－ln x)， 所以≥e(－ln x)， 即ln x≥－，当x＝时等号成立， 所以ex≥ex＝＞1(等号不同时成立)． 规律方法　指数的放缩．形如： ex－1≥x－1＋1⇒ex≥ex， ≥e·⇒ex≥xn. 对数的放缩．形如： eln x≥1＋ln x⇒ln x≤x－1⇒ln(1＋x)≤x， ln<⇒ln(x＋1)－ln x<， ln<－ ⇒ln(1＋x)－ln x>， ln ≤－1⇒x≥eln x. 跟踪演练2　已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋