专题一 培优点1 洛必达法则-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉

培优点1　洛必达法则 “洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决能成立或恒成立问题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则． 法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1) f(x)＝0及 g(x)＝0; (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0; (3) ＝k， 那么 ＝ ＝k. 法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1) f(x)＝∞及 g(x)＝∞； (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0; (3) ＝k， 那么 ＝ ＝k. 1．将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－洛必达法则也成立． 2．洛必达法则可处理，，0·∞，1∞，∞0，00，∞－∞型求最值问题． 考点一　利用洛必达法则求型最值 例1　已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解　方法一　f′(x)＝2xln x＋x－2ax ＝x(2ln x＋1－2a)， 因为x≥1，所以2ln x＋1≥1， 则当a≤时，f′(x)＝x(2ln x＋1－2a)≥0， 此时f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)≥f(1)＝0，此时f(x)≥0恒成立， 所以a≤符合题意；当a>时， 由f′(x)＝x(2ln x＋1－2a)＝0，得x0＝， 则x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减； x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)min＝f  ＝ ＝e2a－1－a(e2a－1－1)＝a－ ＝<0.此时，f(x)≥0不成立． 综上，a≤. 方法二　由f(x)＝x2ln x－a(x2－1)≥0， 当x＝1时，不等式成立，a∈R， 当x>1时，a≤， 令g(x)＝(x>1)， 则g′(x)＝， 因为x>1，则(x2－1－2ln x)′＝2x－>0， 故y＝x2－1－2ln x在(1，＋∞)上单调递增， 则y＝x2－1－2ln x>0， 故g′(x)＝>0. 所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增． 则g(x)>g(1)，由洛必达法则知 ＝ ＝. 所以由a≤恒成立，得a≤. 规律方法　对函数不等式恒成立求参数取值范围时，采用分类讨论、假设反证法．若采取参数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷，此时，利用洛必达法则即可求解．洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． 跟踪演练1　已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解　当x＝0时，f(x)＝0， 对任意实数a都有f(x)≥0； 当x>0时，由f(x)≥0得a≤， 设g(x)＝， 则g′(x)＝， 令h(x)＝xex－2ex＋x＋2(x>0)， 则h′(x)＝xex－ex＋1， 记φ(x)＝h′(x)，则φ′(x)＝xex>0， ∴h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)>h′(0)＝0， ∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(x)>h(0)＝0， ∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增． 由洛必达法则知 故a≤. 综上，实数a的取值范围是. 考点二　利用洛必达法则求型最值 例2　已知函数f(x)＝ax－a－xln x．若当x∈(0,1)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解　依题意，ax－a－xln x≥0恒成立， 即a(x－1)≥xln x恒成立， 又x－1<0， ∴a≤恒成立， 令φ(x)＝，x∈(0,1)， ∴φ′(x)＝， 令g(x)＝x－1－ln x，x∈(0,1)， ∴g′(x)＝1－<0， ∴g(x)在(0,1)上单调递减， ∴g(x)>g(1)＝0， ∴φ′(x)>0，即φ(x)在(0,1)上单调递增． 由洛必达法则知 ＝ ＝ ＝ ＝ x＝0， ∴φ(x)>0，故a≤0， 综上，实数a的取值范围是(－∞，0]． 规律方法　对于不常见的类型0·∞，1∞，∞0，00，∞－∞等，利用洛必达法则求极限，一般先通过转换，化成，型求极限． 跟踪演练2　已知函数f(x)＝2ax3＋x.若x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求a的取值范围． 解　当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a， 即2ax3＋x>x3－a， 即a(2x3＋1)>x3－x， 即a>恒成立， 令φ(x)＝(x>1)， ∴φ′(x)＝>0， ∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增， 由洛必达法则知 φ(x)＝ ＝ ＝ ＝， ∴φ(x)<，故a≥. 专题强化练 1．(2022·马鞍山模拟)已知函数f(x)＝ax2－xcos x＋sin x. (1)若a