专题一 第5讲 母题突破3 零点问题-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏

母题突破3　零点问题 母题　(2022·武汉检测)已知函数f(x)＝，g(x)＝tan x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设函数F(x)＝f(x)－g(x)，试判断F(x)在∪内的零点个数． 思路分析 ❶求f′x，判断f′x的符号 　　　　↓ ❷等价变形Fx＝0，构造新函数hx＝xsin x－excos x 　　　　↓ ❸分类讨论hx的单调性 解　(1)函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}， f′(x)＝＝， 令f′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0； 当x∈(0,1)时，f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在区间(－∞，0)，(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增． (2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－tan x＝0， 得xsin x－excos x＝0. 设h(x)＝xsin x－excos x， 所以h′(x)＝ex(sin x－cos x)＋(xcos x＋sin x)． ①当x∈时， 可知sin x－cos x<0，xcos x＋sin x<0，所以 h′(x)＝ex(sin x－cos x)＋(xcos x＋sin x)<0， 从而h(x)＝xsin x－excos x在上单调递减， 又h(0)＝－1，h＝>0， 由零点存在定理及h(x)的单调性， 得h(x)在上有一个零点． ②当x∈时，cos x≥sin x>0， 由(1)知函数f(x)＝在(0,1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x∈时， 函数F(x)＝f(x)－g(x)＝－tan x单调递减， F(x)min＝F＝ 所以h(x)在上无零点． ③当x∈时，sin x>cos x>0， h′(x)＝ex(sin x－cos x)＋(xcos x＋sin x)>0， 则h(x)在上单调递增． 又h＝>0， h＝·－· 所以h(x)在上存在一个零点． 综上，h(x)在∪上零点个数为2， 即F(x)在∪上的零点个数为2. [子题1]　(2021·全国甲卷改编)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)，若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． 解　f(x)＝＝1⇔ax＝xa⇔xln a＝aln x⇔＝， 设函数g(x)＝， 则g′(x)＝， 令g′(x)＝0，得x＝e， 在(0，e)上，g′(x)>0，g(x)单调递增； 在(e，＋∞)上，g′(x)<0，g(x)单调递减， ∴g(x)max＝g(e)＝， 又g(1)＝0，当x→＋∞时，g(x)→0， ∴曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，即曲线y＝g(x)与直线y＝有两个交点的充要条件是0<<，即0<g(a)<g(e)， ∴a的取值范围是(1，e)∪(e，＋∞)． [子题2]　设函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2(a∈R)．函数g(x)＝ax－1，证明：当a≤2时，函数H(x)＝f(x)－g(x)至多有一个零点． 证明　因为H(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1， 所以H′(x)＝(x>－1)， 令H′(x)＝0，x1＝0，x2＝－1. ①当a＝2时，H′(x)≥0，函数H(x)在定义域(－1，＋∞)上单调递增，至多有一个零点； ②当a≤0时，－1≤－1， 令H′(x)>0，得x>0， 令H′(x)<0，得－1<x<0， 所以函数H(x)在区间(－1,0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增， 则函数H(x)在x＝0时有最小值H(0)＝1>0，此时函数H(x)无零点． ③当0<a<2时，－1<－1<0， 令H′(x)>0，得－1<x<－1或x>0， 令H′(x)<0，得－1<x<0， 所以函数H(x)在区间，(0，＋∞)上单调递增，在区间上单调递减． 因为函数H(0)＝1>0， 所以H>0，且H(x)>0在区间上恒成立． H(x)在区间上至多有一个零点． 所以当0<a<2时，函数H(x)在区间(－1，＋∞)上至多有一个零点． 综上，当a≤2时，函数H(x)＝f(x)－g(x)至多有一个零点． 规律方法　(1)三步求解函数零点(方程根)的个数问题 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质； 第三步：结合图象求解． (2)已知零点求参数的取值范围：①结合图象与单调性，分析函数的极值点；②依据零点确定极值的范围；③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论． 1．(2022·河南六市联考)已知函数f(x)＝ex－ax＋2a，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)讨论函数f(x)的零点个数． 解　(1)∵f(x)＝ex－ax＋2a，定义域为