专题一 第5讲 母题突破2 恒成立问题与有解问题-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤

母题突破2　恒成立问题与有解问题 母题　(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围． 2思路分析一 ❶∀x≥0，fx≥x3＋1 　　　↓ ❷分离参数a≥gx 　　　↓ ❸a≥gxmax 　　　↓ ❹求gxmax 思路分析二 ❶∀x≥0，fx≥x3＋1 　　　↓ ❷等价变形 　　　↓ ❸构造新函数 　　　↓ ❹求新函数的最值 解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x， f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1， 由于φ′(x)＝ex＋2>0， 故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0， 故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． (2)方法一　由f(x)≥x3＋1得， ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0. ①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意； ②当x>0时，分离参数a得， a≥－， 记g(x)＝－， g′(x)＝－， 令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)， 则h′(x)＝ex－x－1， 令t(x)＝h′(x)，x≥0，则t′(x)＝ex－1≥0， 故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0， 故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0， 由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立， 故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 因此，g(x)max＝g(2)＝， 综上可得，a的取值范围是. 方法二　f(x)≥x3＋1等价于 e－x≤1. 设函数g(x)＝e－x(x≥0)， 则g′(x)＝－e－x ＝－x[x2－(2a＋3)x＋4a＋2]e－x ＝－x(x－2a－1)(x－2)e－x. ①若2a＋1≤0，即a≤－， 则当x∈(0,2)时，g′(x)>0， 所以g(x)在(0,2)上单调递增，而g(0)＝1， 故当x∈(0,2)时，g(x)>1，不符合题意． ②若0<2a＋1<2，即－<a<， 则当x∈(0,2a＋1)∪(2，＋∞)时，g′(x)<0； 当x∈(2a＋1,2)时，g′(x)>0， 所以g(x)在(0,2a＋1)，(2，＋∞)上单调递减， 在(2a＋1,2)上单调递增． 由于g(0)＝1， 所以g(x)≤1，当且仅当g(2)＝(7－4a)e－2≤1， 即a≥. 所以当≤a<时，g(x)≤1. ③若2a＋1≥2，即a≥， 则g(x)≤e－x. 由于0∈， 故由②可得e－x≤1. 故当a≥时，g(x)≤1. 综上，a的取值范围是. [子题1]　已知函数f(x)＝ex－ax－1.若f(x)≤x2在x∈(0，＋∞)上有解，求实数a的取值范围． 解　因为f(x)≤x2在(0，＋∞)上有解， 所以ex－x2－ax－1≤0在(0，＋∞)上有解， 当x>0时，a≥－在(0，＋∞)上有解， 令g(x)＝－， 则g′(x)＝－ ＝. 显然当x>0时，ex>x＋1， 即ex－(x＋1)>0， 当0<x<1时，g′(x)<0； 当x>1时，g′(x)>0， 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x＝1时，g(x)min＝e－2， 所以a≥e－2， 综上可知，实数a的取值范围是[e－2，＋∞)． [子题2]　已知函数f(x)＝ex＋ax(a∈R)．若f(x)≥1－ln(x＋1)对任意的x∈[0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 解　若x≥0时， f(x)≥1－ln(x＋1)， 即ex＋ax＋ln(x＋1)－1≥0.(*) 令g(x)＝ex＋ax＋ln(x＋1)－1， 则g′(x)＝ex＋＋a， 令 φ(x)＝ex＋＋a， 则φ′(x)＝ex－＝≥0， ∴函数φ(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， φ(0)＝2＋a. (1)若a≥－2，φ(0)＝2＋a≥0， ∴φ(x)≥0， ∴g′(x)≥0. 函数g(x)在区间[0，＋∞)上单调递增． ∴g(x)≥g(0)＝0. ∴(*)式恒成立． (2)若a<－2， 由φ(0)＝2＋a<0，当x→＋∞时，φ(x)→＋∞. 故∃x0∈(0，＋∞)，使得φ(x0)＝0， 则当0<x<x0时，φ(x)<φ(x0)＝0， 即g′(x)<0. ∴函数g(x)在区间(0，x0)上单调递减， ∴g(x0)<g(0)＝0，即(*)式不恒成立． 综上所述，实数a的取值范围是[－2，＋∞)． 规律方法　(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题． ②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min