专题一 第5讲 母题突破1 导数与不等式的证明-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀

第5讲　导数的综合应用 [考情分析]　1.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大． 母题突破1　导数与不等式的证明 母题　已知函数f(x)＝ex－x2. (1)求曲线f(x)在x＝1处的切线方程； (2)求证：当x>0时，≥ln x＋1. 思路分析 ❶求切线方程 　　　↓ ❷fx≥e－2x＋1 　　　↓ ❸ex－x2－e－2x－1≥0 　　　↓ ❹ex＋2－ex－1≥x2 　　　↓ ❺≥x≥ln x＋1 (1)解　f′(x)＝ex－2x，f′(1)＝e－2， 又f(1)＝e－1. ∴切线方程为y－(e－1)＝(e－2)(x－1)， 即y＝(e－2)x＋1. (2)证明　令φ(x)＝f(x)－[(e－2)x＋1] ＝ex－x2－(e－2)x－1(x>0)， φ′(x)＝ex－2x－(e－2)， 令t(x)＝φ′(x)＝ex－2x－(e－2)， t′(x)＝ex－2， 当x∈(0，ln 2)时，t′(x)<0， 当x∈(ln 2，＋∞)时，t′(x)>0， ∴φ′(x)在(0，ln 2)上单调递减， 在(ln 2，＋∞)上单调递增， 又φ′(0)＝3－e>0，φ′(1)＝0， ∴φ′(ln 2)<0， ∴∃x0∈(0，ln 2)使φ′(x0)＝0， 即当x∈(0，x0)∪(1，＋∞)时， φ′(x)>0，x∈(x0，1)时，φ′(x)<0， ∴φ(x)在(0，x0)上单调递增， 在(x0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 又φ(0)＝0，φ(1)＝0， ∴φ(x)min＝0， ∴φ(x)≥0，即ex－x2－(e－2)x－1≥0， 即ex＋(2－e)x－1≥x2， 即≥x， 要证≥ln x＋1， 即证x≥ln x＋1， 令h(x)＝x－ln x－1(x>0)， ∴h′(x)＝1－＝， h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴h(x)min＝h(1)＝0， ∴h(x)≥0，即x≥ln x＋1， 则原不等式成立． [子题1]　已知函数f(x)＝ex－ax－a，当a＝1时，令g(x)＝.求证：当x>0时，g(x)<1. 证明　当a＝1时，g(x)＝， 令φ(x)＝ex－x－1，x>0， ∴φ′(x)＝ex－1>0， ∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)>φ(0)＝0， 即ex－x－1>0. 要证g(x)<1，即证<1， 即证<ex－x－1. 方法一　即证ex－x－1－>0， 令h(x)＝ex－x－1－，x>0， h′(x)＝ex－x－1>0， ∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴h(x)>h(0)＝0， ∴ex－x－1－>0，即证原不等式成立． 方法二　即证＋x＋1<ex， 即证<1. 令F(x)＝，x>0， ∴F′(x)＝<0， ∴F(x)在(0，＋∞)上单调递减， 当x→0时，F(x)→1， ∴F(x)<1， 因此<1，即证原不等式成立． [子题2]　(2022·德州联考改编)已知函数f(x)＝ln .若x∈(0,1)，求证：f(x)<ex. 证明　方法一　f(x)＝ln ＝1－ln x， 欲证f(x)<ex， 只需证x(1－ln x)<(1＋x－x3)ex， 设函数g(x)＝x(1－ln x)，则g′(x)＝－ln x， 当x∈(0,1)时，g′(x)>0，函数g(x)在(0,1)上单调递增， 所以g(x)<g(1)＝1， 设函数h(x)＝(1＋x－x3)ex，x∈(0,1)， 因为x∈(0,1)，所以x>x3， 所以1＋x－x3>1， 又1<ex<e，所以h(x)>1， 所以g(x)<1<h(x)， 即原不等式成立． 方法二　f(x)＝ln ＝1－ln x. 欲证f(x)<ex， 只需证＋x2－<1， 因为x∈(0,1)， 所以1－ln x>0，ex>e0＝1， 则只需证1－ln x＋x2－<1， 只需证ln x－x2＋>0， 令t(x)＝ln x－x2＋，x∈(0,1)， 则t′(x)＝－2x－ ＝<<0， 则函数t(x)在(0,1)上单调递减， 则t(x)>t(1)＝ln 1－12＋1＝0， 所以ln x－x2＋>0成立， 即原不等式成立． 规律方法　利用导数证明不等式问题的方法 (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论． (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数． 1．(2021·全国乙卷改编)设函数f