专题一 第4讲 函数的极值、最值-（配套word）2023新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙

第4讲　函数的极值、最值 [考情分析]　利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题． 考点一　利用导数研究函数的极值 核心提炼 判断函数的极值点，主要有两点 (1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点． (2)利用函数f′(x)的单调性可得函数的极值点． 例1　(2022·百师联盟联考)已知函数f(x)＝x2－(2a2－a＋1)x＋(2a－1)ln x＋2，其中a≠0. (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间； (2)当a>0且a≠1时，f(x)存在一个极小值点x0，若x0>3.求实数a的取值范围． 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当a＝1时，f(x)＝x2－2x＋ln x＋2， f′(x)＝x－2＋＝＝≥0， 当且仅当x＝1时，f′(x)＝0， 所以当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． (2)f(x)＝x2－(2a2－a＋1)x＋(2a－1)ln x＋2， f′(x)＝ax－(2a2－a＋1)＋ ＝ ＝， 由f′(x)＝0，解得x＝或x＝2a－1， ①若0<a≤，则2a－1≤0，≥2， 故当x∈时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减； 当x∈时，f′(x)>0， f(x)在上单调递增． 所以f(x)有一个极小值点，即x0＝， 所以>3，解得0<a<. ②若<a<1，则0<2a－1<， 故当x∈(0,2a－1)时，f′(x)>0，f(x)在(0,2a－1)上单调递增； 当x∈时，f′(x)<0， f(x)在上单调递减； 当x∈时，f′(x)>0， f(x)在上单调递增． 所以f(x)有一个极小值点，即x0＝， 所以>3，解得0<a<，没有符合题意的a. ③若a>1，则0<<2a－1， 故当x∈时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增； 当x∈时，f′(x)<0， f(x)在上单调递减； 当x∈(2a－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2a－1，＋∞)上单调递增． 所以f(x)有一个极小值点2a－1， 即x0＝2a－1.所以2a－1>3，解得a>2. 综上，a∈∪(2，＋∞)． 易错提醒　(1)不能忽略函数的定义域． (2)f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性． (3)函数的极小值不一定比极大值小． 跟踪演练1　(1)(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　) A．a<b B．a>b C．ab<a2 D．ab>a2 答案　D 解析　当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图所示，观察可知b>a. 当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图所示，观察可知a>b. 综上，可知必有ab>a2成立． (2)(2022·安康模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由f(x)＝ex－ax2－2ax， 得f′(x)＝ex－2ax－2a. 因为函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点， 所以f′(x)＝ex－2ax－2a＝0有两个不同的解， 即＝有两个不同的解，转化为g(x)＝与y＝的图象有两个交点， 设g(x)＝，则g′(x)＝－， 令g′(x)＝0，即－＝0， 解得x＝0， 当x>0时，g′(x)<0； 当x<0时，g′(x)>0； 所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减． 分别作出函数g(x)＝与y＝的图象，如图所示， 由图可知，0<<1， 解得a>. 所以实数a的取值范围为. 考点二　利用导数研究函数的最值 核心提炼 1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值． (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)． (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 例2　(1)(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)等于(　　) A．－1 B．－ C. D．1 答案　B 解析　因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 所以依题意可知 而f′(x)＝－， 所以即 所以f′(x)＝－＋， 因此函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 当x＝1时