第11章 高考大题冲关系列6 高考中概率、随机变量及分布列的热点题型-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

命题动向：在高考的解答题中，对概率与随机变量及其分布相结合的综合问题的考查既是热点又是重点，是高考必考的内容，并且常常与统计相结合，常常设计成包含概率计算、概率分布列、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别等知识的综合题．以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力． 题型1　求离散型随机变量的均值与方差 例1　(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 解　(1)随机变量X的所有可能取值为0,20,100. P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48. 故随机变量X的分布列如下： X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)设小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分， 则随机变量Y的所有可能取值为0,80,100， P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48. 故E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 由(1)知E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 因为E(Y)>E(X)，故应先回答B类问题． [冲关策略]　离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应． 变式训练1　(2023·北京房山期末)开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程．某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立． (1)从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率； (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为抽出两人中女生的人数，求X的分布列与数学期望； (3)在(2)中，Y表示抽出2人中男生的人数，试判断方差D(X)与D(Y)的大小．(直接写结果) 解　(1)依题意支持方案二的学生中，男生有25人、女生有35人，所以抽到的是女生的概率P＝＝. (2)记从方案一中抽取到女生为事件A，从方案二中抽取到女生为事件B， 则P(A)＝＝，P(B)＝＝， 则X的可能取值为0,1,2， P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝×＋×＝， P(X＝2)＝×＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (3)依题意可得Y＝2－X，所以D(Y)＝D(2－X)＝(－1)2D(X)＝D(X)， 即D(Y)＝D(X)． 题型2　概率与统计的综合问题 例2　(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001) 解　(1)平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋