第11章 第8讲 二项分布与超几何分布、正态分布-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第8讲　二项分布与超几何分布、正态分布 课程标准：1.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.4.了解正态分布的均值、方差及其含义. 1．n重伯努利试验及其特征 (1)n重伯努利试验的概念 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)n重伯努利试验的共同特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 (1)一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p). (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 3．超几何分布 (1)定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，m∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． (2)均值E(X)＝. 4．正态分布 (1)正态曲线 称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态密度曲线，简称正态曲线． (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． (3)正态曲线的特点 ①∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方. ②曲线与x轴之间的区域的面积为1. ③曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． ④曲线在x＝μ处达到峰值. ⑤当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． ⑥当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. ⑦当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. (4)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 1．二项分布与超几何分布的关系 在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布． 区别 ①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布； ②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布 2.若X～N(μ，σ2)，则X是连续型随机变量． 1．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是(　　) A. B． C． D． 答案　B 解析　设随机变量X表示取出次品的个数，X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，X的可能的取值为0,1,2，所求概率为P(X＝1)＝＝.故选B. 2．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为(　　) A. B． C． D． 答案　A 解析　第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求概率为P＝C×2××＝.故选A. 3．(2018·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p＝(　　) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 答案　B 解析　∵D(X)＝np(1－p)，∴p＝0.4或p＝0.6.∵P(X＝4)＝Cp4(1－p)6<P(X＝6)＝Cp6(1－p)4，∴(1－p)2<p2，可知p>0.5.故选B. 4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　) A．0.648