第11章 第7讲 离散型随机变量的分布列及数字特征-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第7讲　离散型随机变量的分布列及数字特征 课程标准：通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列及其数字特征(均值、方差). 1．随机变量的概念及特征 (1)概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： ①取值依赖于样本点. ②所有可能取值是明确的. (3)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质 (1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X的每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示：离散型随机变量的分布列也可以用表格表示，如下表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (3)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)； ②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3．离散型随机变量的均值 (1)离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望． (2)离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. (3)离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 4．离散型随机变量的方差、标准差 (1)设离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度． (2)称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X)． (3)离散型随机变量方差的性质 ①设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X). ②D(C)＝0(其中C为常数)． 5．两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 称X服从两点分布或0－1分布．且E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). 1．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 2．D(X)＝E(X2)－[E(X)]2. 1．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果是(　　) A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标 答案　C 解析　因为击中目标或子弹打完就停止射击，所以射击次数X＝5说明前4次均未击中目标．故选C. 2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，…，则P(2<X≤4)＝(　　) A. B． C． D． 答案　A 解析　P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.故选A. 3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验的成功次数，则P(X＝0)＝(　　) A．0 B． C. D． 答案　B 解析　设P(X＝1)＝p，则P(X＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝.故P(X＝0)＝1－p＝.故选B. 4．(多选)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　) A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4 C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2 答案　ACD 解析　因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故B错误，C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E