第11章 第6讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第6讲　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 课程标准：1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概型，利用独立性计算概率.2.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.3.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.4.会利用乘法公式和全概率公式计算概率. 1．相互独立事件 (1)定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立． (2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 2．条件概率 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 3．乘法公式 对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A). 4．条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)如果与B互为对立事件，则 P(|A)＝1－P(B|A). 5．全概率公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai). *6.贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝ ＝，i＝1,2，…，n. 1．事件间的关系及表示 (1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B. (2)A，B都发生的事件为AB. (3)A，B都不发生的事件为. (4)A，B恰有一个发生的事件为(A)∪(B)． (5)A，B至多有一个发生的事件为(A)∪(B)∪()． 2．条件概率的计算常采用缩小样本空间法求解． 3．乘法公式可以推广为P(A1A2A3)＝P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0. 1．(2022·河北廊坊模拟)若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又相互独立 答案　C 解析　∵P(A)＝1－P()＝1－＝，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝≠0，∴事件A与B相互独立、事件A与B不互斥，故不对立．故选C. 2．(2022·浙江舟山模拟)甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如下： 购买A种 医用外科口罩 购买B种 医用外科口罩 购买C种 医用外科口罩 甲 0.2 0.4 乙 0.3 0.3 则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为(　　) A．0.44 B．0.40 C．0.36 D．0.32 答案　D 解析　由表可知，甲购买A种医用外科口罩的概率为0.4，乙购买B种医用外科口罩的概率为0.4，所以甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为P＝0.4×0.3＋0.2×0.4＋0.4×0.3＝0.32.故选D. 3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为(　　) A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.88 答案　D 解析　设“甲被录取”记为事件A，“乙被录取”记为事件B，则两人至少有一人被录取的概率P＝1－P()＝1－(1－P(A))(1－P(B))＝1－0.4×0.3＝0.88.故选D. 4．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是(　　) A．0.72 B．0.8 C．0.86 D．0.9 答案　A 解析　设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.故选A. 5．(多选)某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮四级以上的风，则(　　) A．P(B|A)＝ B．P(B|A)＝ C．P(A|B)＝ D．P(A|B)＝ 答案　BC 解析　由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝＝，P(A|B)＝＝.故选BC. 6．从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的这个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为________.