第11章 第5讲 古典概型-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第5讲　古典概型 课程标准：结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率. 1．古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2．古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝. 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的概率模型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键． 1．一枚质地均匀的硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是(　　) A. B． C． D．0 答案　A 解析　一枚质地均匀的硬币连掷2次，样本点有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个，而恰有1次出现正面包括(正，反)，(反，正)，2个，故其概率为＝.故选A. 2．(多选)下列是古典概型的是(　　) A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小 B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率 C．近三天中有一天降雨的概率 D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 答案　ABD 解析　A，B，D是古典概型，因为都具备古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不具备等可能性，故不是古典概型．故选ABD. 3．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A. B． C． D． 答案　D 解析　所有取法一共有C＝21种，不互质的有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,6)，(4,6)，(4,8)，(6,8)，共7种．故这2个数互质的概率为＝. 4．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形中较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1～15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为(　　) A. B． C． D． 答案　D 解析　从这15个数中随机抽取3个整数，所有样本点的个数为C，其中勾股数为(3,4,5)，(6,8,10)，(9,12,15)，(5,12,13)，共4个，所以这三个数为勾股数的概率为P＝＝.故选D. 5．(2020·江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________. 答案　 解析　根据题意可得样本点共有6×6＝36个，点数和为5的样本点有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，共4个，∴向上的点数和为5的概率为＝. 6．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为________(结果用最简分数表示)． 答案　 解析　解法一：从这30瓶饮料中任取2瓶，至少取到1瓶已过保质期的概率为P＝＝. 解法二：从这30瓶饮料中任取2瓶，至少取到1瓶已过保质期的概率为P＝1－＝. 考向一　简单的古典概型 例1　将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”． (1)写出该试验的样本空间Ω，并求事件A发生的概率； (2)求事件B发生的概率； (3)事件A与事件C至少有一个发生的概率． 解　(1)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数， 样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共有36个样本点， 事件A包含的样本点有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个样本点， ∴事件A发生的概率为P(A)＝. (2)事件B包含的样本点有12个，分别为(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)， ∴事件B发生的概率P(B)＝＝. (3)事件A与事件C至少有一个发生包含的样本点有11个，分别为(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,3)，(6,2)，(6,4)，(6,6)， ∴事件A与事件C至少