第11章 第3讲 二项式定理-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第3讲　二项式定理 课程标准：1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. 2．二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.这一性质可直接由C＝C得到． 直线r＝将函数ƒ(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴． (2)增减性与最大值 因为C＝ ＝C， 即＝，所以，当>1，即k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，C随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 3．各二项式系数和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝2n－1； (3)C＋C＋C＋…＝2n－1. 1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题． 2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同． 3．(1＋x)n＝C＋Cx＋…＋Cxk＋…＋Cxn. 1．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　) A．C B．C C．C D．(－1)m－1C 答案　D 解析　(x－y)n的展开式中，第m项为Tm＝Cxn－m＋1·(－y)m－1＝(－1)m－1·Cxn－m＋1ym－1.所以第m项的系数为(－1)m－1C.故选D. 2.6的展开式的中间项为(　　) A．－40 B．－40x2 C．40 D．40x2 答案　B 解析　6的展开式的中间项为C(2x)3·3＝－40x2.故选B. 3．(多选)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　ABC 解析　∵(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数C最大，∴n＝7或n＝8或n＝9. 4．(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 答案　B 解析　令x＝1，则a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，令x＝－1，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－3)4＝81，故a4＋a2＋a0＝＝41.故选B. 5．设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3的系数为(　　) A．500 B．－500 C．150 D．－150 答案　C 解析　由题意可得N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－2n＝240,2n＝16，n＝4.展开式中第k＋1项Tk＋1＝C·(5x)4－k(－)k＝(－1)kC54－k·.令4－＝3，得k＝2，∴展开式中x3的系数为(－1)2×C×52＝150.故选C. 6．(2021·北京高考)4展开式中常数项为________. 答案　－4 解析　4的展开式的通项Tk＋1＝C(x3)4－k·k＝(－1)kCx12－4k，令12－4k＝0，得k＝3，则常数项为T4＝(－1)3C＝－4. 考向一　求展开式中的特定项或特定项系数 例1　(1)(2022·上海奉贤区二模)已知n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n的值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　依题意，得n的二项展开式的通项为Tk＋1＝C()n－kk＝·，k∈N，k≤n，于是有C＋C＝2×C，即1＋＝n，整理得n2－9n＋8＝0，而n≥2，解得n＝8，所以n的值为8.故选B. (2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． 答案　－28 解析　展开式中含有x2y6的项为1·Cx2y6－·Cx3y5＝－28x2y6. (3)(2019·浙江高考)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________. 答案　16　5 解析　二项展开式的通项为Tk＋1＝C()9－kxk，k∈N，0≤k≤9，当为常数项时，k＝0，T1＝C()9x0＝()9＝16.当项的系数为有理数时，9－k为偶数，可得k＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5. 　　 1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简． (2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k. (3)代回通项公式得所求． 2.对于几个多项式积的展开式中的特定