第10章 第3讲 成对数据的统计分析-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

第3讲　成对数据的统计分析 课程标准：1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.3.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件.4.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.5.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.6.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用. 1．相关关系 两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2．相关关系的分类 (1)按变量间的增减性分为正相关和负相关． ①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势． ②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势． (2)按变量间是否有线性特征分为线性相关或非线性相关(曲线相关)． ①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． ②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 3．相关关系的刻画 (1)散点图：为了直观描述成对样本数据的特征，把每对成对数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图． (2)样本相关系数 ①我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度，其中r＝ . ②样本相关系数r的取值范围为[－1,1]. 当r>0时，成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 4．一元线性回归模型 称为Y关于x的一元线性回归模型．其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述． 5．最小二乘法 将＝ x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中＝，＝－ . 6．残差与残差分析 (1)残差 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差． (2)残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 7．对模型刻画数据效果的分析 (1)残差图法 在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系． (2)残差平方和法 残差平方和 (yi－i)2越小，模型的拟合效果越好． (3)决定系数R2法 可以用决定系数R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差． 8．列联表与独立性检验 (1)2×2列联表 ①2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. ②定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 像这种形式的数据统计表称为2×2列联表． (2)独立性检验 ①定义：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验． ②χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. (3)独立性检验解决实际问题的主要环节 ①提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释． ②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较． ③根据检验规则得出推断结论． ④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 1．相关关系与函数关系的异同 共同点：二者都是指两个变量间的关系； 不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系，而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．经验回归直线＝ x＋必过样本点的中心(，)． 1．下列四个散点图中，变量x与y之间具有负线性相关关系的是(　　) 答案　D 解析　观察散点图可知，只有D中的散点图表示的是变量x与y之间具有负线性相关关系．故选D. 2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做了试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m，如下表： 甲 乙 丙 丁